Średnia arytmetyczno-geometryczna - Gry

Średnia arytmetyczno-geometryczna

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Średnią arytmetyczno-geometryczną dwóch liczb rzeczywistych dodatnich a i b, oznaczaną często w nomenklaturze anglojęzycznej przez AGM(a,b) lub M(a,b), nazywamy wspólną granicę następujących ciągów określonych rekurencyjnie:

a_{n+1}=\frac{a_n + b_n}{2},
b_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n}},

gdzie a0 = a oraz b0 = b, przy czym średnią tę można rozszerzyć dla liczb zespolonych. Granica ta istnieje dla dowolnych a, b rzeczywistych dodatnich, ponieważ

b_{n}\le b_{n+1}\le a_{n+1} \le a_{n},

co wynika z nierówności Cauchy'ego, i równocześnie kolejne różnice pomiędzy odpowiednimi wyrazami ciągów (an) i (bn) dążą do zera:

\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n) = 0.

Z samej konstrukcji mamy, że

\sqrt{ab}\le M(a,b) \le \frac{a+b}{2}.

Badania nad nią zapoczątkowane zostały jeszcze przez Gaussa, który w początkowym okresie swojej twórczości naukowej poświęcił jej dużo miejsca. W jego dzienniku z 30 maja 1799 roku czytamy nawet, że badania nad nią „stworzyły nowe pola rozwoju analizy”. Wkrótce odkrył on zaskakującą równość:

\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\alpha}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}\alpha +b^{2}\sin^{2}\alpha}}=\frac{\pi}{2M(a,b)},

z której wynika, że długość ćwiartki lemniskaty Bernoulliego wyraża się zależnością

\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2})}.

Wielkość M(1,\sqrt{2}) nazywa się stałą Gaussa i wynosi w przybliżeniu

1,1981402347355922074399\ldots

Czasami stałą Gaussa nazywa się odwrotność powyższej liczby.

Średnia arytmetyczno-geometryczna ma wiele ciekawych własności m.in.

M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b),\mbox{dla }\lambda \ge 0,
M(a,b)=M(\frac{a + b}{2},\sqrt{a b}),

czyli w szczególności dla 0<x<1

M(1-x,1+x)=M(1,\sqrt{1-x^2}).

Obecnie średnią arytmetyczno-geometryczną Gaussa wykorzystuje się w przeróżnych algorytmach służących do obliczania liczby π, z których najważniejszym wydaje się być odnaleziony w 1976 przez E. Salamina i R. Brenta

\pi=\frac{4[M(1,2^{-1/2})]^2}{1-\sum^{\infty}_{j=1}2^{j+1}c^{2}_{j}},

gdzie

c_n = \frac{1}{2}(a_n - b_n)

oraz a0 = 1 i b0 = \frac{1}{\sqrt{2}},a an i bn dla n>0 otrzymujemy z wzorów powyżej.

[edytuj] Bibliografia

  • L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, 2000, ISBN 0-387-98946-3

[edytuj] Link zewnętrzny

p • d • e
Średnie
Średnie
Zastosowanie średnich





Zamiast artykułu...
Film :) Enjoy, chummers: Shadowrun - Name Of The Game (http://www.dailymotion.com/video/x72ur1_shadowrun-name-of-the-game_videogames)Uploaded by mattnesspl (http://www.dailymotion.com/mattnesspl)
Co szykują dla nas deweloperzy Shadowruna?
chat (http://www.battlecorps.com/BC2/PublicSRChat.html) z deweloperami linii Shadowruna, a już dzisiaj na anglojęzycznej oficjalnej stronie systemu (http://www.shadowrun4.com) ukazał się jego...
Grafika Specjalna
wywiad (index.php?option=com_content task=view id=445 Itemid=1) . Jego prace pokazały się w dodatku Augumentation i Arsenal. Niedługo zagości również na stronach...
Nowe Artykuły
Witam wszystkich serdecznie!Ostatnio zacząłem zastanawiać się nad nowymi artykułami (stąd też tak długa przerwa). Sprawa nie jest prosta. Serwis...
Korporacje
Jakiś czas temu jeden z moich znajomych runerów postanowił wprowadzić jednego ze swoich świeżo opierzonych kumpli, w świecie megakorporacji. Co...
kamery kolorowe systemy monitoringu sprztanie Klimatyzacja samochd do lubu krakw herbatownia tanie opony Wywoływanie zdjęć Energooszczędność Samsung E250