Homomorfizm pierścieni - Gry

Homomorfizm pierścieni

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Spis treści

Homomorfizm pierścieni to, nieformalnie, przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.

Niech (R, +, \cdot) oraz (S, \oplus, \odot) będą dowolnymi pierścieniami.

Homomorfizmem pierścieni R i S nazywamy dowolne odwzorowanie h\colon R \to S takie, że

  • h(a + b) = h(a) \oplus h(b) oraz
  • h(a \cdot b) = h(a) \odot h(b).

[edytuj] Obraz

Obrazem homomorfizmu h nazywamy zbiór

\operatorname{Im}(h) = \{a \in S: \exists_{b \in R}\; a = h(b)\},

czyli zbiór takich elementów S, które są wartościami odwzorowania h na co najmniej jednym elemencie zbioru R.

Obraz homomorfizmu h jest podpierścieniem pierścienia S.

[edytuj] Jądro

Jądrem homomorfizmu h nazywamy zbiór

\ker h = \{a \in R: h(a) = 0_S\},

gdzie 0S oznacza zero pierścienia S.

Jądro homomorfizmu h jest ideałem pierścienia R.

[edytuj] Monomorfizm

Zobacz więcej w osobnym artykule: monomorfizm.

Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.

Homomorfizm h\colon R \to S jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy \ker h = {0_R}, gdzie 0R oznacza zero pierścienia R.

[edytuj] Epimorfizm

Zobacz więcej w osobnym artykule: epimorfizm.

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm typu "na".

Homomorfizm h\colon R \to S jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy \operatorname{Im}(h) = S.

[edytuj] Izomorfizm

Zobacz więcej w osobnym artykule: izomorfizm.

Homomorfizm h\colon R \to S nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy h jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie h − 1 istnieje (ponieważ h jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że pierścienie R i S są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm h\colon R \to S (równoważnie: izomorfizm g\colon S \to R) i oznaczamy R \simeq S. W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności \simeq jest relacją równoważności.

[edytuj] Homomorfizm kanoniczny

Niech R będzie dowolnym pierścieniem, zaś I\subseteq R dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie h\colon R \to R/I określone h(a) = [a] jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie h nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia R na pierścień ilorazowy R / I.

[edytuj] Twierdzenie o homomorfizmie

Jeśli h\colon R \to S jest epimorfizmem pierścieni R,S, to S jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym R/\ker h (izomorfizmem jest odwzorowanie g\colon R/\ker h \to S określone g\left([a]\right) = h(a)) oraz h = g \circ f, gdzie f\colon R \to R/\ker h jest homomorfizmem kanonicznym.

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Zobacz też






Marco Polo II
W 2009 roku można uzyskać kolejne dofinansowanie w ramach europejskiego programu Marco Polo II, który wspiera projekty komercyjne na rynku transportowym.
Universum Focus Group
We have a real pleasure to invite you to take part in a Focus Group meeting conducted by Universum, an independent research and consulting company in the field of Employer Branding.
Działacz Obywatelski Roku
Portal informacyjny wiadomości24.pl po raz trzeci w tym roku wybierze Dziennikarza Obywatelskiego Roku oraz Glogera Roku. Dodatkowo – przy współpracy z portalem poświęconym III sektorowi, czyli ngo.pl internauci po raz pierwszy będą mogli zgłosić kandydaturę oraz głosować na Działacza Obywatelskiego Roku.
MediaTory wspierają WOŚP
To już XVII Finał Wielkiej Orkiestry Świątecznej Pomocy. Po raz drugi przyłączyli się do niego organizatorzy MediaTorów – Studenckich Nagród Dziennikarskich oraz Centrum Meblowe Witek, którzy na aukcję przeznaczyli najbardziej medialną kanapę w Polsce. Przedsięwzięcie to wsparł również Bogdan Rymanowksi – AuTorytet 2008.
Kryzys niestraszny branży IT
Międzynarodowa firma Sybase, która dostarcza oprogramowanie i usługi do zarządzania i umobilniania informacji w przedsiębiorstwie, przeprowadziła badanie na temat obrazu branży IT w 2009 roku. Badanie zostało przeprowadzone w dniach 27 listopada–15 grudnia 2008 r. i swoim zasięgiem objęło 149 osób.
mercedes linux Hiszpania kukurydza kredyt hipoteczny counter-strike poznań psychiatra gry online pierogi z kapustą i grzybami pozycjonowanie i optymalizacja