Pochodna cząstkowa

Z Wikipedii

Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych względem wybranej zmiennej, to "zwykła" pochodna tej funkcji obliczona przy założeniu, że pozostałe zmienne mają ustalone wartości.

Na przykład dla funkcji $f (x, y) = x 3 + 3 x y - y 2$ można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=f_{x}(x,y)=3x^2+3y$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=f_{y}(x,y)=3x-2y$

Zapis $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ nazywamy notacją Leibniza, a $f x (x, y)$ - notacją Lagrange'a.

Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi.

Pochodne czyste

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=f_{xx}(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}(3x^2+3y) = 6x$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=f_{yy}(x,y)= \frac{\partial}{\partial y}(3x-2y) = -2$

i pochodne mieszane – różniczkowanie, które było dokonywane jako pierwsze, zapisujemy w symbolice Leibniza jako pierwsze od prawej strony (a w symbolice Lagrange'a od lewej):

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) = f_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2+3y) = 3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = f_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(3x-2y) = 3$

Uogólnione twierdzenie Schwartza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ilokrotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład

$\frac{\partial^2}{\partial x{}\partial y}{f(x,y)}$

jest pochodną rzędu $2$ .

[edytuj] Zobacz też

Senno�� Zapowiedzi gier Gry Dla Dziewczyn ��ka GRY paintball nieruchomości w chorwacji Sport dotacje oferty pracy Elbląg

gry.kompedium.net

Pochodna cząstkowa

Z Wikipedii

[edytuj] Zobacz też