Pochodna kierunkowa - Gry

Pochodna kierunkowa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Pochodna kierunkowa - w analizie matematycznej pojęcie charakteryzujące przyrost wartości funkcji, określonej w otwartym podzbiorze przestrzeni Banacha w kierunku ustalonego wektora tej przestrzeni.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech U będzie otwartym podzbiorem przestrzeni Banacha X, Y będzie przestrzenią Banacha, f\colon U\to Y. Mówimy, że f ma w x_0\in U pochodną w kierunku h\in X, jeżeli istnieje granica

\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+th)-f(x_0)}{t},\; t\in\mathbb{R}

Granicę tę, jeśli istnieje, oznaczamy \nabla_hf(x_0) i nazywamy pochodną kierunkową. Oczywiście \nabla_hf(x_0)\in Y.

[edytuj] Własności

  • Jeżeli f\colon U\to Y jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w x_0\in U, to istnieje pochodna w każdym kierunku i \nabla_hf(x_0)=f^\prime(x_0)h.
  • Niech X=\mathbb{R}^n, Y=\mathbb{R}^m oraz U będzie otwartym podzbiorem \mathbb{R}^n. F\colon U\to Y, F=(f_1, \ldots, f_m). Macierz pochodnej F składa się z pochodnych cząstkowych (będących pochodnymi w kierunku bazy przestrzeni \mathbb{R}^n. Innymi słowy, jeśli (e_1, \ldots, e_n) jest bazą przestrzeni \mathbb{R}^n, to
F^\prime(x)=\left[\nabla_{e_j}f_i(x)\right]_{\begin{smallmatrix}i\in\{1,\ldots, m\}\\j\in\{1,\ldots, n\}\end{smallmatrix}}=\left[\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}\right]_{\begin{smallmatrix}i\in\{1,\ldots, m\}\\j\in\{1,\ldots, n\}\end{smallmatrix}}
  • Pod powyższymi założeniami, pochodna kierunkowa funkcji F w punkcie x_0\in U w kierunku h\in \mathbb{R}^n jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji F i wektora h.

[edytuj] Przykład

Niech f(x,y) = x2 + xy − y2 i h = \left[\frac 1{\sqrt 2},\frac 1{\sqrt 2}\right] .

\nabla_hf(x,y)=\nabla f\cdot h=\frac{(2x+y)}{\sqrt 2}+\frac{(x-2y)}{\sqrt 2}=\frac{3x-y}{\sqrt 2}.

[edytuj] Bibliografia

  1. Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976. 

[edytuj] Zobacz też






Femtokomórka, czyli broadband trochę inaczej
Szykuje się mała rewolucja na rynku usług szerokopasmowych. Wszystko za sprawą "efektu iPhona" oraz popularyzacji technologii femtokomórek.
Ventrilo - kolejny konkurent TeamSpeak'a
Ventrilo to kolejny po TeamSpeaku i XFire telefon internetowy przeznaczony dla graczy. Aplikacja korzysta z ogólnie przyjętego wzorca, w którym rozmowy toczą się na kanałach, w których zasiada jedna lub więcej osób, rozmawiających jednocześnie.
Star Trek (trailer kinowy 2)
Drugi trailer zapowiadający kinową adaptację jednego z najpopularniejszych seriali telewizyjnych - Star Trek.
Friday the 13th (trailer kinowy)
Powrót do historii, która rozpoczęła pasmo strachu i krwawych morderstw. Czas poznać wcześniejsze i mroczniejsze wydarzenia z historii Jaysona.
FlashGot - czego nie potrafi twój menedżer pobierania
FlashGot to znakomity dodatek do przeglądarki, który, gdyby nie sposób jego uruchamiania, mógłby w zasadzie robić za pełnowartościowy program. Jego zadaniem jest wspomóc naszego ulubionego menedżera plików w jego integracji z przeglądarką Firefox.
chirurgia plastyczna Imprezy integracyjne dla firm serwery shoutcast Pozycjonowanie stron internetowych I inne utwory Świat szeroko zamknięty M-Audio montaż klimatyzacji usługi księgowe prezent dla chłopaka