Proper forsing

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Na tej stronie wyświetlane są oczekujące zmiany

Brak wersji przejrzanej

Skocz do: nawigacji, szukaj

Proper forsing (własność proper pojęć forsingu) – jedna z podstawowych własności pojęć forsingu wprowadzona przez izraelskiego matematyka Saharona Shelaha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. Nazwa jest spolszczeniem angielskiego wyrażenia proper forcing.

W 1978 w czasie wykładów w Berkeley, Shelah przedstawił po raz pierwszy tę własność i jej zastosowania, w druku te idee ukazały się w 1980^[1]. W 1982, Shelah opublikował monografię^[2] przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.^[3]^[4]^[5].

Spis treści

1 Definicje
2 Przykłady
3 Przykładowe własności
4 Twierdzenia zachowawcze
5 Aksjomat A
- 5.1 Aksjomat Baumgartnera
- 5.2 Konsekwencje i przykłady
6 Bibliografia
7 Zobacz też

[edytuj] Definicje

W literaturze tematu funkcjonują trzy równoważne definicje pojęcia forsingów proper. Definicja teoriogrowa była opublikowana po raz pierwszy w rozprawie doktorskiej Charlsa Greya, pozostałe dwie są oryginalnymi definicjami Shelaha.

Niech ${\mathbb P}=({\mathbb P},\leqslant)$ będzie pojęciem forsingu.

[edytuj] Definicja kombinatoryczna

Uogólniając pojęcie zbiorów stacjonarnych wprowadzamy następujące definicje. Poniżej, dla liczby kardynalnej λ, rodzina wszystkich nieskończonych przeliczalnych podzbiorów λ jest oznaczana przez $[\lambda]^\omega\$ .

(i) Powiemy, że zbiór $X\subseteq [\lambda]^\omega$ jest nieograniczony jeśli dla każdego $y\in [\lambda]^\omega$ możemy znaleźć $x\in X$ taki że $y\subseteq x$ .

(ii) Powiemy, że zbiór $X\subseteq [\lambda]^\omega$ jest domknięty jeśli dla każdego ciągu $x_0\subseteq x_1\subseteq x_2\subseteq\ldots\subseteq x_n\subseteq\ldots$ (dla $n<\omega\$ ) elementów zbioru X mamy że $\bigcup\limits_{n<\omega}x_n\in X$ .

(iii) Zbiór $S\subseteq [\lambda]^\omega$ jest stacjonarny jeśli ma on niepusty przekrój z każdym domkniętym i nieograniczonym zbiorem $X\subseteq [\lambda]^\omega$ (tzn $S\cap X\neq\emptyset$ ).

Pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper jeśli zachowuje ono stacjonarność podzbiorów $[\lambda]^\omega\$ dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej λ. Innymi słowy, ${\mathbb P}$ jest proper jeśli dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej λ i każdego stacjonarnego zbioru $S\subseteq [\lambda]^\omega$ mamy, że $\Vdash_{\mathbb P}$ " $S$ jest stacjonarny".

[edytuj] Definicja teoriogrowa

Dla $p\in {\mathbb P}$ rozważmy następującą grę nieskończoną $\Game^{\rm proper}(p,{\mathbb P})$ długości ω. W czasie partii tej gry, dwóch graczy (Pierwszy i Druga) konstruuje ciąg $\langle \dot{\alpha}_n,\beta_n:n<\omega\rangle$ w sposób następujący. Na kroku n,

najpierw Pierwszy wybiera ${\mathbb P}$ -nazwę (term boole'owski) $\dot{\alpha}_n$ taką że $\Vdash_{\mathbb P}$ " $\dot{\alpha}_n$ jest liczbą porządkową".

Potem Druga odpowiada wybierając liczbę porządkową $\beta_n\$ .

Po skończonej partii orzekamy że Druga wygrała wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje warunek $q\leqslant p$ taki, że $q\Vdash_{\mathbb P}(\forall n<\omega)(\exists k<\omega)(\dot{\alpha}_n=\beta_k)$ .

Pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper jeśli dla każdego warunku $p\in {\mathbb P}$ , Druga ma strategię zwycięską w grze $\Game^{\rm proper}(p,{\mathbb P})$ .

[edytuj] Definicja oparta na warunkach generycznych

Powiemy, że zbiór $G\subseteq {\mathbb P}$ jest filtrem w ${\mathbb P}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $G\neq \emptyset$ ,

(ii) jeśli $p,q\in {\mathbb P}$ , $q\leqslant p$ oraz $q\in G$ , to również $p\in G$ ,

(iii) jeśli $p,q\in G$ , to można znaleźć $r\in G$ taki że $r\leqslant p$ oraz $r\leqslant q$ .

Zbiór $I\subseteq {\mathbb P}$ jest gęstym podzbiorem ${\mathbb P}$ jeśli $(\forall p\in {\mathbb P})(\exists q\in I)(q\leqslant p)$ .
Niech $χ$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\mathcal H}(\chi)$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $χ$ . Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal H}(\chi),\in)$ takim, że ${\mathbb P}\in N$ . Powiemy, że warunek $q\in {\mathbb P}$ jest warunkiem $(N,{\mathbb P})$ -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq {\mathbb P}$ który należy do modelu $N$ mamy

dla każdego $r\in A$ , jeśli

r, q

są niesprzeczne, to $r\in N.$

(Przypomnijmy, że warunki

r, q

są niesprzeczne jeśli istnieje warunek $s\in {\mathbb P}$ silniejszy niż oba te warunki.)

Pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $χ$ istnieje $x\in {\mathcal H}(\chi)$ taki, że:

jeśli

N

jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal H}(\chi),\in)$ , ${\mathbb P},x\in N$ oraz $p\in {\mathbb P}\cap N$ ,

to istnieje warunek $q\leqslant p$ który jest $(N,{\mathbb P})$ -generyczny.

[edytuj] Przykłady

Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.

[edytuj] Przykładowe własności

Przypuśćmy, że pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper. Wówczas

(a) Jeśli $p\in {\mathbb P}$ oraz $\dot{\tau}$ jest ${\mathbb P}$ -nazwą taką, że $p\Vdash_{\mathbb P}\dot{\tau}:\omega\longrightarrow {\bold V}$ , to istnieją warunek $q\leqslant p$ oraz ciąg $\langle A_n:n<\omega\rangle$ zbiorów przeliczalnych takie, że $q\Vdash_{\mathbb P}(\forall n<\omega)(\dot{\tau}(n)\in A_n)$ .

(b) $\Vdash_{\mathbb P}$ " $\omega_1^{\bold V}$ jest liczbą kardynalną ".

Przypuśćmy, że $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\gamma\rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi (CS iteration) taką, że dla każdego $\alpha<\gamma\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper ".

Wówczas ${\mathbb P}_\gamma=\lim(\bar{\mathbb Q})$ jest proper.

Załóżmy CH. Przypuśćmy, że $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\omega_2\rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha<\omega_2\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper mocy co najwyżej $\aleph_1$ ".

Wówczas ${\mathbb P}_{\omega_2}$ spełnia $\aleph_2$ -cc (tzn każdy antyłańcuch w ${\mathbb P}_{\omega_2}$ jest mocy co najwyżej $\aleph_1$ ) oraz $\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ " dla każdego $\alpha<\omega_2\$ .

[edytuj] Twierdzenia zachowawcze

Pozycja własności proper w teorii forsingów iterowanych jest wynikiem szeregu twierdzeń zachowaczych związanych z tą własnością.

[edytuj] Postać ogólna

Ogólny schemat twierdzeń iteracyjnych ma następującą postać. Mamy dwie własności pojęć forsingu, powiedzmy $W 1$ i $W 2$ i własność $W 1$ implikuje własność $W 2$ . Twierdzenia iteracyjne związane z tymi własnościami mogą być jednej z następujących postaci:

(a) Jeśli $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\gamma\rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha<\gamma\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper i ma własność

W 1

",

to ${\mathbb P}_\gamma=\lim(\bar{\mathbb Q})$ jest proper i ma własność

W 2

.

(b) Jeśli γ jest liczbą graniczną oraz $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\gamma\rangle$ jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego $\alpha<\gamma\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper" oraz ${\mathbb P}_\alpha$ ma własność

W 1

,

to ${\mathbb P}_\gamma=\lim(\bar{\mathbb Q})$ (jest proper i) ma własność

W 2

.

Jeśli własności $W 1, W 2$ są identyczne, to mówimy wówczas że mamy do czynienia z twierdzeniem zachowawczym.

[edytuj] Przykłady

Powiemy, że pojęcie forsingu ${\mathbb Q}=({\mathbb Q},\leqslant)$ jest $ω ω$ -ograniczające, jeśli

$\Vdash_{\mathbb Q}\big(\forall \eta\in {}^\omega\omega\big)\big(\exists \nu\in {}^\omega\omega\cap {\bold V}\big)\big(\forall n\in\omega\big)\big(\eta(n)<\nu(n)\big)$ .

Twierdzenie: Jeśli $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\gamma\rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha<\gamma\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper i

ω ω

-ograniczające ",

to ${\mathbb P}_\gamma=\lim(\bar{\mathbb Q})$ jest proper i jest

ω ω

-ograniczające.

Powiemy, że pojęcie forsingu ${\mathbb Q}=({\mathbb Q},\leqslant)$ jest słabo $ω ω$ -ograniczające, jeśli

$\Vdash_{\mathbb Q}\big(\forall \eta\in {}^\omega\omega\big)\big(\exists \nu\in {}^\omega\omega\cap {\bold V}\big)\big(\{n\in\omega:\eta(n)<\nu(n)\}$ jest nieskończony $\big)$ .

Twierdzenie: Jeśli γ jest liczbą graniczną oraz $\bar{{\mathbb Q}}=\langle{\mathbb P}_\alpha,\dot{\mathbb Q}_\alpha:\alpha<\gamma\rangle$ jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego $\alpha<\gamma\$ mamy

$\Vdash_{{\mathbb P}_\alpha}$ " $\dot{\mathbb Q}_\alpha$ jest proper " oraz ${\mathbb P}_\alpha$ jest słabo

ω ω

-ograniczające,

to ${\mathbb P}_\gamma=\lim(\bar{\mathbb Q})$ jest proper i jest słabo

ω ω

-ograniczające.

[edytuj] Dalsza lektura

Rozdziały 6 i 18 w monografii Shelaha^[3] są najbardziej wyczerpującym przeglądem twierdzeń zachowawczych, ale bardzo jasno przedstawione szczególne przypadki tych twierdzeń można znaleźć w artykule Goldsterna^[4] i książce Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha^[6]. Warto przy tej okazji zauważyć, że w artykule Goldsterna zakłada się (ze względów technicznych), że rozważane pojęcia forsingu dodają nowe liczby rzeczywiste, a prezentacja w książce Bartoszyńskiego i Judaha zawiera pewną lukę w tym aspekcie. Wyjaśnienie problemu i przedstawienie jego rozwiązania można znaleźć w artykule Jakoba Kellnera i Martina Goldsterna^[7].

[edytuj] Aksjomat A

James E. Baumgartner^[8] wprowadził własność pojęć forsingu, która implikuje, że rozważany forsing jest proper, a której sprawdzenie w wielu przypadkach jest prostsze (czy też bardziej intuicyjne). Własność ta znana jest pod nazwą aksjomatu A lub aksjomatu Baumgartnera.

[edytuj] Aksjomat Baumgartnera

Powiemy, że pojęcie forsingu ${\mathbb P}=(\mathbb P,\leqslant)$ spełnia aksjomat A, jeśli istnieje ciąg porządków częściowych $(\leqslant_n)_{n<\omega}$ na ${\mathbb P}$ taki, że

(i) jeśli $q\leqslant_0 p$ , to $q\leqslant p$ ,

(ii) jeśli $q\leqslant_{n+1} p$ , to $q\leqslant_n p$ ,

(iii) jeśli nieskończony ciąg warunków $\langle p_n\colon n<\omega\rangle$ ma tę własność, że $p_{n+1}\leqslant_n p_n$ (dla wszystkich

n < ω

), to można znaleźć warunek $q \in \mathbb P$ taki, że $(\forall n<\omega) (q\leqslant_n p_n)$ ,

(iv) dla każdego warunku $p\in {\mathbb P}$ , liczby

n < ω

oraz maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq {\mathbb P}$ można wybrać warunek $q\in {\mathbb P}$ taki, że $q\leqslant_n p$ i zbiór $\{r\in A\colon r,q$ są niesprzeczne $\,\}$ jest przeliczalny.

[edytuj] Konsekwencje i przykłady

Jeśli pojęcie forsingu $\mathbb P$ spełnia aksjomat A, to jest ono proper.
Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu spełniają aksjomat A. (W pierwszym przypadku kładziemy $\leqslant_n=\leqslant$ , a w drugim $\leqslant_n$ jest równością.)
Forsing Silvera spełnia aksjomat A. Przypomnijmy, że pojęcie forsingu Silvera ${\mathbb S}$ jest zdefiniowane następująco. Elementami porządku (tzn. warunkami) są funkcje $f\colon \operatorname{dom}(f) \to \omega$ takie, że $\operatorname{dom}(f)\subseteq \omega$ oraz $\omega\setminus \operatorname{dom}(f)$ jest nieskończone; porządek jest odwrotną relacją wydłużania funkcji, tzn. $g\leqslant f$ wtedy i tylko wtedy, gdy ( $f, g\in \mathbb S$ oraz) $f\subseteq g$ .

Dla liczby naturalnej $n\in\omega$ określmy relację dwuczłonową $\leqslant_n$ na $\mathbb S$ w sposób następujący. Kładziemy $\leqslant_0=\leqslant$ oraz dla

n > 0

:

$g\leqslant_n f$ wtedy i tylko wtedy, gdy ( $f,g\in \mathbb S$ oraz) $g\leqslant f$ i jeśli $k\in \omega\setminus \operatorname{dom}(f)$ i $\left|k\setminus \operatorname{dom}(f)\right|<n$ to $k\notin \operatorname{dom}(g)$ .

Łatwo można sprawdzić, że $\leqslant_n$ są porządkami częściowymi na ${\mathbb S}$ zaświadczającymi, że ${\mathbb S}$ spełnia aksjomat A.

Ogólniej, pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach spełniają aksjomat A przy naturalnych warunkach^[9].

[edytuj] Bibliografia

↑ Shelah, Saharon: Independence results. "J. Symbolic Logic" 45 (1980), s. 563-573.
↑ Shelah, Saharon: Proper forcing. "Lecture Notes in Mathematics", 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5.
↑ ^3,0 ^3,1 Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.
↑ ^4,0 ^4,1 Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.
↑ Abraham, Uri: Proper forcing. w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.
↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X
↑ Goldstern, Martin; Kellner, Jakob: New reals: can live with them, can live without them. "Math. Log. Q." 52 (2006), s. 115-124.
↑ Baumgartner, James E.: Iterated forcing, w: Surveys in set theory, pod red. A. R. D. Mathiasa. London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983, s. 1-59.
↑ Rosłanowski, Andrzej; Shelah, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. "Mem. Amer. Math. Soc." 141 (1999), no. 671, ISBN 0-8218-1180-0.

[edytuj] Zobacz też

Diesle bardziej ekologiczne niż samochody elektryczne

Wpływ środowiskowy samochodów z silnikami Diesla jest niższy niż samochodów z silnikami elektrycznymi zasilanymi ogniwami. Winny jest proces przygotowania, produkcji, ładowania i recyklingu powszechnie stosowanych w nich ogniw litowo-jonowych - twierdzą w swoim raporcie specjaliści ze szwajcarskich Federalnych Laboratoriów Inżynierii Materiałowej i technologii (EMPA).

Naukowcy określili najbardziej atrakcyjną figurę kobiety

Najbardziej atrakcyjna kobieca figura ma kształt klepsydry i idealną talię. Naukowcy nowozelandzcy przeprowadzili badania, z których wynika, że figura o kształcie klepsydry jest dla mężczyzn znacznie atrakcyjniejsza, niż rozmiar piersi, czy rysy twarzy potencjalnej partnerki, zaś najkorzystniejsze proporcje rozmiarów to stosunek obwodu talii do bioder wynoszący 0.7.

Kuracja dwulatka uzależnionego od papierosów

Dwuletni Indonezyjczyk Aldi Rizal, który wypalał do dwóch paczek papierosów dziennie, w końcu zerwał z nałogiem. Zdjęcia dziecka, zaciągającego się papierosem, pojawiły się w maju w internecie, wywołując oburzenie na całym świecie.

Farmer kupił dla swoich krów łóżka wodne

Pewien farmer z Somerset kupił dla swoich krów łóżka wodne, aby poprawić jakość produkowanego przez nie mleka.

Wpadł na lotnisku po tym, jak pękła mu torba

95 węży boa dusicieli chciał przemycić Malezyjczyk. Podróżnik przyznał się do próby przemytu dzikich zwierząt po tym, jak na taśmie bagażowej lotniska w Kuala Lumpur rozerwała się torba, w której przewoził różne gatunki węży oraz żółwie - poinformowały malezyjskie władze.

Wycena Golfa 3 meble Kursy maturalne pokoje do wynajęcia Szczecin klamki manekiny Szamba ekologiczne meble warszawa domeny oferty pracy

[0] Shelah, Saharon: Independence results. "J. Symbolic Logic" 45 (1980), s. 563-573.

[1] Shelah, Saharon: Proper forcing. "Lecture Notes in Mathematics", 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5.

[pif-2] 3,0 ^3,1 Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.

[tools-3] 4,0 ^4,1 Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.

[4] Abraham, Uri: Proper forcing. w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.

[5] Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X

[6] Goldstern, Martin; Kellner, Jakob: New reals: can live with them, can live without them. "Math. Log. Q." 52 (2006), s. 115-124.

[7] Baumgartner, James E.: Iterated forcing, w: Surveys in set theory, pod red. A. R. D. Mathiasa. London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983, s. 1-59.

[8] Rosłanowski, Andrzej; Shelah, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. "Mem. Amer. Math. Soc." 141 (1999), no. 671, ISBN 0-8218-1180-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

gry.kompedium.net

Proper forsing

Spis treści

[edytuj] Definicje

[edytuj] Definicja kombinatoryczna

[edytuj] Definicja teoriogrowa

[edytuj] Definicja oparta na warunkach generycznych

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Przykładowe własności

[edytuj] Twierdzenia zachowawcze

[edytuj] Postać ogólna

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Dalsza lektura

[edytuj] Aksjomat A

[edytuj] Aksjomat Baumgartnera

[edytuj] Konsekwencje i przykłady

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też