Przekształcenie liniowe

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwaga
- 1.2 Oznaczenia
2 Przestrzenie przekształceń
3 Rodzaje i własności
- 3.1 Charakteryzacja przekształceń liniowych
4 Operatory liniowe w analizie funkcjonalnej
5 Przykłady
6 Przypisy
7 Zobacz też

Ten artykuł dotyczy funkcji rozpatrywanej w algebrze liniowej oraz w analizie funkcjonalnej. Zobacz też: funkcja liniowa.

Przekształcenie liniowe (odwzorowanie liniowe, operator liniowy) – w algebrze liniowej, odwzorowanie między przestrzeniami liniowymi, zachowujące działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Dokładniej, odwzrowanie liniowe jest to każda funkcja addytywna i jednorodna. Przekształcenia tego typu pojawiają się w sposób naturalny w wielu dziedzinach matematyki - na przykład, na macierze o wyrazach rzeczywistych, które mają m wierszy i n kolumn, można patrzeć jak na przekszałcenia liniowe przestrzeni $\mathbb{R}^n$ w przestrzeń $\mathbb{R}^m$ (z drugiej strony każdemu takiemu przekształceniu odpowiada pewna macierz tej postaci). Innymi naturalnymi przykładami przekształceń liniowych są np. operatory^[1] różniczkowania czy całkowania. Operatory liniowe na rzeczywistych lub zespolonych przestrzeniach nieskończeniewymiarowych są przedmiotem badań analizy funkcjonalnej.

Pojęcie przekształcenia liniowego w naturalny sposób uogólnia się na pojęcie homomorfizmu (lewych R-)modułów - wszystkie pojęcia natury czysto algebraicznej, nie angażujące odnoszenia się do liniowej niezależności również się przenoszą (np. twierdzenie o wykresie - zob. niżej).

W dalszej części artykułu, $U$ i $V$ są ustalonymi przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K$ (chyba, że wspomniane będzie inaczej).

[edytuj] Definicja

Funkcję $A\colon U \to V\,$ nazywamy przekształceniem liniowym, gdy dla dowolnych $x,y\in U$ oraz $c\in K$ spełnione są warunki

$A(x+y) = A(x)+A(y)\,$ (addytywność),
$A(cx)=cA(x)\,$ (jednorodność).^[2]

[edytuj] Uwaga

Warunkom 1. i 2. równoważny jest poniższy warunek:

$A(c x + y) = c A(x) + A(y)\,$ .

[edytuj] Oznaczenia

Przekształcenia liniowe oznacza się z reguły dużymi literami, zaś ich argumenty (o ile nie wprowadza to niejasności) zapisuje się bez nawiasów:

$A(x)\stackrel{\rm{ozn.}}{=}Ax$ .

Zbiór wszystkich przekszatałceń liniowych przestrzeni liniowych $U$ i $V$ oznacza się często symbolami $\operatorname{Hom}(U,V), \operatorname{L}(U,V)$ bądź $\mathcal{L}(U,V)$ - istnieją jednak pewne rozbieżności co do interpretacji dwóch ostatnich symboli: w analizie funkcjonalnej, rozumie się przez nie zbiór wszystkich liniowych i ciągłych przekształceń przestrzeni $U, V$ . Jeśli $U, V$ są przestrzeniami skończenie wymiarowymi nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to wszystkie przekształcenia liniowe między nimi są ciągłe. W niniejszym artykule używane będzie oznaczenie $\operatorname{L}(U,V)$ .

[edytuj] Przestrzenie przekształceń

Niech dla wszystkich $A, B \in \operatorname{L}(U,V),\; c \in K,\; x \in U\,$

1) $(A+B)x = Ax + Bx\,$ ,

2) $(cA)x = c \cdot Ax\,$ .

Zbiór $\operatorname{L}(U,V)\,$ z tak określonymi działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalary, tworzy przestrzeń liniową.

Ponadto wymiar przestrzeni przekształceń wyraża się poprzez zależność:

$\dim \mbox{L}(U,V) = \dim U \cdot \dim V\,$ .

W szczególności, jeśli $U$ i $V$ są, odpowiednio, $n$ - i $m$ -wymiarowe, to przestrzeń $\operatorname{L}(U,V)$ jest izomorficzna z przestrzenią $K^n_m$ , tzn. przestrzenią macierzy o współczynnikach z ciała $K$ , które mają $m$ wierszy i $n$ kolumn. Konsekwencją tego faktu jest, iż przekształcenie liniowe $A$ między skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi reprezentowane jest przez pewną macierz. Postać tej macierzy zależy od wyboru baz przestrzeni $U$ i $V$ . Działanie przekształcenia liniowego na wektor można przedstawić jako mnożenie macierzy tego przekształcenia przez kolumnę (stojącą po prawej stronie), utworzoną ze współrzędnych tego wektora w danej bazie.

Niezmiennikami przekształceń liniowych ze względu na zmianę baz są: nieosobliwość i rząd macierzy.

[edytuj] Rodzaje i własności

Różnowartościowe przekształcenie liniowe nazywa się często nieosobliwym. W szczególnym przypadku, gdy przekształcenie liniowe $A$ reprezentowane jest przez macierz, to jest ono nieosobliwe wtedy i tylko wtedy, gdy $\det A \ne 0$ (niezależnie od wyboru baz przestrzeni).
Przekształcenie liniowe o wartościach w ciele nazywamy funkcjonałem liniowym.
Przekształcenie liniowe $A\colon U \to U$ nazywa się zwyczajowo operatorem (liniowym) lub endomorfizmem (liniowym). Endomorfizmy wzajemnie jednoznaczne nazywane są automorfizmami (liniowymi).

[edytuj] Charakteryzacja przekształceń liniowych

Sformułowane dalej twierdzenie o wykresie podaje ogólną charakteryzację przekształceń liniowych: Funkcja $f\colon U\to V$ jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy wykres

$\Gamma_f=\{(u, f(u)\colon\, u\in U\}\subset U\times V$

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $U\times V$ .

[edytuj] Operatory liniowe w analizie funkcjonalnej

Jeżeli $U$ i $V$ są przestrzeniami unormowanymi, to operator $A\colon U\to V$ nazywany jest ograniczonym, gdy istnieje taka stała $M > 0$ , że dla każdego $u\in U$ zachodzi nierówność:

$\|Au\|_V\leq M\|u\|_U$ .

Operator liniowy jest ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły. W przypadku przestrzeni Banacha można podać wygodne kryterium ciągłości odwzorowania liniowego. I tak:

Niech $U, V$ będą przestrzeniami Banacha, a $A$ operatorem liniowym $U$ w $V$ . Wówczas każde dwa z poniższych zdań są równoważne:

$A$ jest ciągłe.
$A$ przeprowadza ciągi zbieżne do zera w ciągi ograniczone.
$A$ jest ciągłe w pewnym punkcie, np. w zerze.

Jeśli przestrzenie $U$ i $V$ są skończenie wymiarowe, to wszystkie odwzorowania liniowe między nimi są ciągłe. Związane jest to z faktem, że w przestrzeni skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne. W przestrzeniach nieskończenie wymiarowych można podać przykłady odwzorowań liniowych, które nie są ciągłe:

Niech $U$ będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni $C([0,1],\mathbb{R})$ (z normą supremum) tych funkcji $f$ , dla których istnieje $f^\prime(0)$ . Odwzorowanie $T\colon U\to \mathbb{R}$ dane wzorem $Tf=f^\prime(0)$ jest liniowe (wynika to z własności pochodnej) - mimo to nie jest ciągłe. Wystarczy rozważyć ciąg funkcji

$f_n(x)=x(1-x)^n,\, n\in \mathbb{N}$ .

Ciąg ten jest zbieżny do funkcji zerowej (w sensie normy supremum). Natomiast

$f^\prime_n(0)=1$ dla każdego $n\in \mathbb{N}$ ,

skąd nie może być on zbieżny do $T (0) = 0$ .

Ważnym twierdzeniem analizy funkcjonalnej (mającym charakter mimo wszystko algebraiczny) jest twierdzenie Hahna-Banacha, dotyczące przedłużania funkcjonałów liniowych na rzeczywistych przestrzeniach liniowych. Inne klasyczne wyniki dotyczące odwzorowań liniowych to:

[edytuj] Przykłady

Przekształcenie identycznościowe $\operatorname{id}\colon U \to U\,$ , dane wzorem $\operatorname{id}(x) = x$ , jest liniowe.
Funkcja liniowa postaci $f(x) = ax,\; a \in \mathbb R,\,$ jest przekształceniem liniowym. Zob. homotetia. Warto jednak zauważyć, że dowolna funkcja liniowa (tzn. funkcja postaci $f(x) = ax+b,\; a,b \in \mathbb R\,$ ) z reguły nie jest przekształceniem liniowym.
Niech $C([a,b])\,$ oznacza przestrzeń funkcji ciągłych, określonych na przedziale $[a,b]\,$ . Odwzorowanie $I\colon C([a,b]) \to \mathbb R\,$ , dane wzorem

$I(f) = \int\limits_a^b~f(x)d x\,$ , jest przekształceniem liniowym.

Przypisy

↑ Słowo "operator" używa się i bardziej szeroko - jako synonim słowa "przekształcenie".
↑ tzn. gdy jest ono homomorfizmem przestrzeni $U$ w przestrzeń $V\,$

[edytuj] Zobacz też

przekształcenie afiniczne,
przekształcenie dwuliniowe,
jądro przekształcenia liniowego,
obraz przekształcenia liniowego,
macierz przekształcenia liniowego,
homomorfizm,
przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

Będziemy więcej pracować tygodniowo (News)

"Skutki kryzysu finansowego na świecie mogą mieć wpływ na polskich pracodawców, stan zatrudnienia oraz na rynek pracy. Odpowiedzią na niesprzyjające rynkowi pracy potencjalne zmiany musi być upowszechnienie i promowanie elastycznych form organizacji czasu pracy. To rozwiązanie ułatwi firmom zatrzymanie...

Przepisy dyskryminują niektórych księgowych (News)

Od 1 stycznia przepisy dotyczące certyfikatu księgowego znalazły się w ustawie o rachunkowości. Kryteria określające doświadczenie księgowe dyskryminują bezrobotnych odbywających staż. Okres zatrudnienia w ramach stażu nie jest zaliczany do praktyki przy zdobywaniu uprawnień księgowych. Funkcjonujące...

Koń pomoże firmie wyszkolić dobrego menedżera (News)

Do Polski przyszła moda na specjalne szkolenia dla menedżerów i kadry zarządzającej, w których wykorzystywany jest... koń. "Ćwiczenia z koniem potrafią nauczyć zarządzania zmianami i świadomego przywództwa. Przede wszystkim pozwalają jednak ocenić liderom, czy dają oni swoim pracownikom...

P2P zaradzi korkom? (News)

Naukowcy z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Irvine postanowili użyć sieci P2P do walki z korkami na drogach. W International Journal of Vehicle Information and Communication Systems piszą oni, że najpoważniejszym problemem na drogach jest brak systemów zbierania i prezentowania użytecznych informacji...

Windows 7 rozbudza nadzieje użytkowników zawiedzionych Vistą (News)

Pierwsze opinie są zaskakują pozytywne - beta-testerzy nowego systemu Microsoftu chwalą, że szybki i niewymagający. Czy tak jest w rzeczywistości, reszta ciekawych przekonać będzie się mogła od piątku: Windows 7 w wersji beta trafi do powszechnych testów. Żeby jednak załapać się na testowanie...

muzykunia na f zaproszenia weselne Pi�ki no�ne Pozycjonowanie citroen Księgarnia adwokaci Kraków rusztowania mocny burszows

[0] Słowo "operator" używa się i bardziej szeroko - jako synonim słowa "przekształcenie".

[1] tzn. gdy jest ono homomorfizmem przestrzeni $U$ w przestrzeń $V\,$

[1]

[2]

gry.kompedium.net