Przestrzeń Hilberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona przestrzeń liniowa z określonym iloczynem skalarnym (inaczej przestrzeń unitarna) dla której norma^[1] wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.

Przestrzenie Hilberta są podstawowym pojęciem analizy funkcjonalnej. Do matematyki wprowadził je David Hilbert pod koniec XIX w.. Przestrzenie Hilberta są także podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, między innymi w mechanice kwantowej.

W niniejszym artykule stosowana będzie następującą notacja: jeśli X jest przestrzenią Hilberta, to symbolem (x|y)_X oznaczany będzie iloczyn skalarny elementów x, y tej przestrzeni - lub krótko (x|y), jeśli nie będzie prowadzić to do nieporozumień.

Spis treści

1 Przykłady przestrzeni Hilberta
- 1.1 Przestrzenie euklidesowe
- 1.2 Przestrzenie funkcyjne
2 Ciągłe funkcjonały liniowe na przestrzeni Hilberta
3 Ośrodkowe przestrzenie Hilberta
4 Refleksywność
5 Przypisy
6 Bibliografia
7 Zobacz też

[edytuj] Przykłady przestrzeni Hilberta

[edytuj] Przestrzenie euklidesowe

Najprostszym przykładem przestrzeni Hilberta jest zbiór liczb rzeczywistych z mnożeniem jako iloczynem skalarnym. Zbiór wektorów na płaszczyźnie ze "zwykłym" iloczynem skalarnym jest również przestrzenią Hilberta - ogólniej, dla każdej liczby naturalnej N przestrzenie $\mathbb{R}^N$ i $\mathbb{C}^N$ są przestrzeniami Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem

$(x|y)=\sum_{j=1}^Nx_j \overline{y_j}$ ,

gdzie $x=(x_1, \ldots, x_N), y=(y_1, \ldots, y_N)\in \mathbb{R}^N (\mathbb{C}^N)$ . W przypadku przestrzeni $\mathbb{R}^N$ symbol $\overline{\cdot}$ sprzężenia zespolonego można pominąć. Okazuje się, że jakkolwiek by nie zadać iloczynu skalarnego w dowolnej rzeczywistej bądź zespolonej skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej, to przestrzeń ta okaże się przestrzenią Hilberta.^[2]

[edytuj] Przestrzenie funkcyjne

przestrzenie l² i L² - szczególnie ważna z punktu widzenia zastosowań (zob. analiza harmoniczna) jest przestrzeń L²(-π,π),
przestrzeń Sobolewa W^k,2,
przestrzenie Hardy'ego,

Iloczyn kartezjański $H_1\times H_2$ przestrzeni Hilberta H₁, H₂ jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym $((x_1, y_1)|(x_2, y_2))_{H_1\times H_2}=(x_1|x_2)_{H_1}+(y_1|y_2)_{H_2}$ , gdzie $x_1, x_2\in H_1,\, y_1, y_2\in H_2$ .

[edytuj] Ciągłe funkcjonały liniowe na przestrzeni Hilberta

Jeśli X jest przestrzenią Hilberta, to jej przestrzeń sprzężona X* (czyli przestrzeń wszystkich liniowych i ciągłych funkcjonałów na przestrzeni X) jest z nią antyliniowo izometrycznie izomorficzna - dokładniej każdemu elementowi $x^*\in X^*$ odpowiada dokładnie jeden element $a\in X$ taki, że

$x^*x=(x|a)\,$ dla wszystkich $x\in X$ .

Odwzorowanie $\Phi\colon X\to X^*$ dane wzorem

$\Phi(x)=\phi_x\,$ ,

gdzie dla ustalonego $x\in X$ - $\phi_x(y)=(y|x)\,$ , jest szukanym izomorfizmem. Jest to tzw. twierdzenie Riesza, które można uznać za wniosek z twierdzenia o rzucie ortogonalnym. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne - jeśli w przestrzeni unitarnej $Y$ każdy funkcjonał $y^*\in Y^*$ daje się wyrazić wzorem

$y^*y=(y|b)\,$ dla pewnego $b\in Y$ ,

to przestrzeń ta jest przestrzenią Hilberta.

[edytuj] Ośrodkowe przestrzenie Hilberta

Przestrzenie Hilberta dzieli się na

ośrodkowe, czyli takie, które zawierają przeliczalny podzbiór gęsty,
nieośrodkowe.

Własności przestrzeni Hilberta różnią się znacznie dla tych dwóch przypadków.

N-wymiarowe rzeczywiste (zespolone) przestrzenie unormowane są liniowo homeomorficzne z przestrzenią $\mathbb{R}^N$ ( $\mathbb{C}^N$ ), a więc da się w nich wprowadzić iloczyn skalarny (zob. twierdzenie Jordana-von Neumanna) ponadto są one zupełne i ośrodkowe, a więc są ośrodkowymi przestrzeniami Hilberta. Jeśli X jest ośrodkową przestrzenią Hilberta nieskończenie wymiarową, to istnieje taka liniowa bijekcja $\Lambda\colon X\to \ell^2$ , że

$(\Lambda x|\Lambda y)_{\ell^2}=(x|y)_X$ dla $x,y\in X$ .

Odwzorowanie $Λ$ dane jest wzorem

$\Lambda x=((x|e_n))_{n\in\mathbb{N}}$ ,

dla $x\in X$ , gdzie $\{e_n\colon\, n\in\mathbb{N}\}$ jest układem ortonormalnym i zupełnym w przestrzeni $X$ . Określenie to jest poprawne na podstawie nierówności Bessela.

Innymi słowy, istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) nieskończenie wymiarowa, ośrodkowa przestrzeń Hilberta.

[edytuj] Refleksywność

Przypomnijmy, że przestrzeń X jest nazywana refleksywną wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie $\kappa\colon X\to X^{**}$ dane wzorem

$\kappa(x)x^*=x^*x\,$ dla $x\in X$ oraz $x^*\in X^*$

jest izomorfizmem. Przestrzenie Hilberta są refleksywne - jest to konsekwencja twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta). Jeśli X jest przestrzenią Hilberta, to na mocy tego twierdzenia istnieje antyliniowy izometryczny izomorfizm $\Lambda \colon X^*\to X$ . Jeśli x₀** jest ustalonym elementem przestrzeni X**, to funkcjonał x₀* dany wzorem

$x_0^*x=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(x))}$ dla $x\in X$

jest liniowy i ciągły oraz dla $x\in X$ :

$\kappa(\Lambda x_0^*)x^*=x^*\Lambda x_0^*=(\Lambda x_0^*|\Lambda x^*)=\overline{(\Lambda x^*|\Lambda x_0^*)}=\overline{x_0^*\Lambda x^*}=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(\Lambda x^*))}=x_0^{**}x^*$

dla $x^*\in X^*$ , a zatem $\kappa(\Lambda x_0^*)=x_0^{**}$ , co oznacza, że odwzorowanie $κ$ jest "na".

Przypisy

↑ Przypomnijmy, że jeżeli $\scriptstyle{X}$ jest przestrzenią unitarną, to jest również przestrzenią unormowaną, w której norma wyraża się wzorem $\scriptstyle{\|x\|=\sqrt{(x|x)},\, x\in X}$ .
↑ W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne, a więc i w konsekwencji zupełne, gdyż każda przestrzeń skończenie wymiarowa jest liniowo homeomorficzna z przestrzenią $\scriptstyle{\mathbb{R}^N}$ dla pewnego $\scriptstyle{N}$ naturalnego. Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią zupełną jest zupełna.

[edytuj] Bibliografia

Krzysztof Maurin: Metody przestrzeni Hilberta. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1959.
Paul Halmos: Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity. Chelsea Pub. Co, 1957.

[edytuj] Zobacz też

the sims do ściągnięcia diety InTouch lamowki projekty garaży Akcje Czytelnia pozycjonowanie warszawa Pneumatyka Wrocław Odsysanie tłuszczu

[0] Przypomnijmy, że jeżeli $\scriptstyle{X}$ jest przestrzenią unitarną, to jest również przestrzenią unormowaną, w której norma wyraża się wzorem $\scriptstyle{\|x\|=\sqrt{(x|x)},\, x\in X}$ .

[1] W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne, a więc i w konsekwencji zupełne, gdyż każda przestrzeń skończenie wymiarowa jest liniowo homeomorficzna z przestrzenią $\scriptstyle{\mathbb{R}^N}$ dla pewnego $\scriptstyle{N}$ naturalnego. Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią zupełną jest zupełna.

[1]

[2]

gry.kompedium.net