Przestrzeń Hilberta

Z Wikipedii

Przestrzeń Hilberta - rzeczywista lub zespolona przestrzeń liniowa z określonym iloczynem skalarnym (inaczej przestrzeń unitarna) dla której norma^[1] wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna.

Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.

W artykule będziemy stosować następującą notację: jeśli $X$ jest przestrzenią Hilberta, to symbolem $(x | y) X$ będziemy oznaczać iloczyn skalarny elementów $x, y$ tej przestrzeni - lub krótko $(x | y)$ , jeśli nie będzie prowadzić to do nieporozumień.

Spis treści

1 Przykłady przestrzeni Hilberta
- 1.1 Przestrzenie euklidesowe
- 1.2 Przestrzenie funkcyjne
2 Wykorzystanie przestrzeni Hilberta
3 Ciągłe funkcjonały liniowe na przestrzeni Hilberta
4 Ośrodkowe przestrzenie Hilberta
5 Refleksywność
6 Przypisy
7 Zobacz też

[edytuj] Przykłady przestrzeni Hilberta

[edytuj] Przestrzenie euklidesowe

Najprostszym przykładem przestrzeni Hilberta jest zbiór liczb rzeczywistych z mnożeniem jako iloczynem skalarnym. Zbiór wektorów na płaszczyźnie ze "zwykłym" iloczynem skalarnym jest również przestrzenią Hilberta - ogólniej, dla każdej liczby naturalnej $N$ przestrzenie $\mathbb{R}^N$ i $\mathbb{C}^N$ są przestrzeniami Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem

$(x|y)=\sum_{j=1}^Nx_j \overline{y_j}$ ,

gdzie $x=(x_1, \ldots, x_N), y=(y_1, \ldots, y_N)\in \mathbb{R}^N (\mathbb{C}^N)$ . W przypadku przestrzeni $\mathbb{R}^N$ symbol $\overline{\cdot}$ sprzężenia zespolonego możemy pominąć. Okazuje się, że jakkolwiek by nie zadać iloczynu skalarnego w dowolnej rzeczywistej bądź zespolonej przestrzeni liniowej, to przestrzeń ta okaże się przestrzenią Hilberta.^[2]

[edytuj] Przestrzenie funkcyjne

Iloczyn kartezjański $H_1\times H_2$ przestrzeni Hilberta $H 1, H 2$ jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym $((x_1, x_2)|(y_1, y_2))_{H_1\times H_2}=(x_1|x_2)_{H_1}+(y_1|y_2)_{H_2}$ , gdzie $x_1, x_2\in H_1,\, y_1, y_2\in H_2$ .

[edytuj] Wykorzystanie przestrzeni Hilberta

Przestrzenie Hilberta są podstawowym pojęciem analizy funkcjonalnej. Do matematyki wprowadził ją David Hilbert pod koniec XIX w.

Przestrzenie Hilberta to podstawowe narzędzie wykorzystywane w wielu dziedzinach fizyki, między innymi w mechanice kwantowej.

[edytuj] Ciągłe funkcjonały liniowe na przestrzeni Hilberta

Zobacz też: twierdzenie Riesza.

Jeśli $X$ jest przestrzenią Hilberta, to jej przestrzeń sprzężona $X *$ (czyli przestrzeń wszystkich liniowych i ciągłych funkcjonałów na przestrzeni $X$ ) jest z nią antyliowo izometrycznie izomorficzna - dokładniej każdemu elementowi $x^*\in X^*$ odpowiada dokładnie jeden element $a\in X$ taki, że

$x^*x=(x|a)\,$ dla wszystkich $x\in X$ .

Odwzorowanie $\Phi\colon X\to X^*$ dane wzorem

$\Phi(x)=\phi_x\,$ ,

gdzie dla ustalonego $x\in X$ - $\phi_x(y)=(y|x)\,$ , jest szukanym izomorfizmem. Jest to tzw. twierdzenie Riesza, które można uznać za wniosek z twierdzenia o rzucie ortogonalnym. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne - jeśli w przestrzeni unitarnej $Y$ każdy funkcjonał $y^*\in Y^*$ daje się wyrazić wzorem

$y^*y=(y|b)\,$ dla pewnego $b\in Y$ ,

to przestrzeń ta jest przestrzenią Hilberta.

[edytuj] Ośrodkowe przestrzenie Hilberta

Przestrzenie Hilberta dzieli się na

ośrodkowe, czyli takie, które posiadają przeliczalny podzbiór gęsty,
nieośrodkowe.

Własności przestrzeni Hilberta różnią się znacznie dla tych dwóch przypadków.

$N$ -wymiarowe przestrzenie unormowane są liniowo homeomorficzne z przestrzenią $\mathbb{R}^N$ , a więc da się w nich wprowadzić iloczyn skalarny (zob. twierdzenie Jordana-von Neumanna) ponadto są one zupełne i ośrodkowe, a więc są ośrodkowymi przestrzeniami Hilberta. Jeśli $X$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta nieskończenie wymiarową, to istnieje taka liniowa bijekcja $\Lambda\colon X\to \ell^2$ , że

$(\Lambda x|\Lambda y)_{\ell^2}=(x|y)_X$ dla $x,y\in X$ .

Odwzorowanie $Λ$ dane jest wzorem

$\Lambda x=((x|e_n))_{n\in\mathbb{N}}$ ,

dla $x\in X$ , gdzie $\{e_n\colon\, n\in\mathbb{N}\}$ jest układem ortonormalnym i zupełnym w przestrzeni $X$ . Określenie to jest poprawne na podstawie nierówności Bessela.

Innymi słowy, istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) nieskończenie wymiarowa, ośrodkowa przestrzeń Hilberta.

[edytuj] Refleksywność

Przypomnijmy, że przestrzeń $X$ jest nazywana refleksywną wtedy i tylko wtedy, gdy $κ(X) = X * *$ , gdzie odwzorowanie $\kappa\colon X\to X^{**}$ dane jest wzorem

$\kappa(x)x^*=x^*x\,$ dla $x\in X$ oraz $x^*\in X^*$ .

Przestrzenie Hilberta są refleksywne - jest to konsekwencja twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta). Jeśli $X$ jest przestrzenią Hilberta, to na mocy tego twierdzenia istnieje antyliniowy izometryczny izomorfizm $\Lambda \colon X^*\to X$ . Jeśli $x_0^{**}$ jest ustalonym elementem przestrzeni $X * *$ , to funkcjonał $x_0^*$ dany wzorem

$x_0^*x=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(x))}$ dla $x\in X$

jest liniowy i ciągły oraz dla $x\in X$ :

$\kappa(\Lambda x_0^*)x^*=x^*\Lambda x_0^*=(\Lambda x_0^*|\Lambda x^*)=\overline{(\Lambda x^*|\Lambda x_0^*)}=\overline{x_0^*\Lambda x^*}=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(\Lambda x^*))}=x_0^{**}x^*$

dla $x^*\in X^*$ , a zatem $\kappa(\Lambda x_0^*)=x_0^{**}$ , co oznacza, że odwzorowanie $κ$ jest "na".

Przypisy

↑ Przypomnijmy, że jeżeli $\scriptstyle{X}$ jest przestrzenią unitarną, to jest również przestrzenią unormowaną, w której norma wyraża się wzorem $\scriptstyle{\|x\|=\sqrt{(x|x)},\, x\in X}$ .
↑ W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne, a więc i w konsekencji zupełne, gdyż każda przestrzeń skończenie wymiarowa jest liniowo homeomorficzna z przestrzenią $\scriptstyle{\mathbb{R}^N}$ dla pewnego $\scriptstyle{N}$ naturalnego. Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią zupełną jest zupełna.

[edytuj] Zobacz też

Dzikie.NET na sprzedaż

Niniejszym ogłaszam, że serwis Dzikie.NET idzie pod młotek. Oznacza to, że każdy kto chce (i ma odpowiednie fundusze) może stać się jego właścicielem. Na sprzedaż zostaje wystawiona domena dzikie.net (wraz ze wszystkimi subdomenami) oraz prawa do serwisu. .... Czytaj dalej na stronach Dzikie.NET

Dzikie.NET kończy działalność publikacyjną

W związku z obecnie niejasną sytuacją i mnogą ilością zapytań ze strony naszych Czytelników postanowiliśmy poinformować oficjalnie o stanie, w którym znajduje się aktualnie Dzikie.NET. W chwili obecnej Dzikie.NET nie prowadzi już żadnej dzia .... Czytaj dalej na stronach Dzikie.NET

W.I.N.K.O - edycja IV

Oto nastała kolejna chwytająca za serce chwila dla każdego foto entuzjasty w naszych szeregach. Kolektyw zgromadzony wokół wątku organizacyjnego wydał z dumą na świat kolejny temat, zarzewie twórczego pędu, niepohamowanego artyzmu.Tematem elektem z .... Czytaj dalej na stronach Dzikie.NET

Produkty Adobe dla studentów za grosze!

Firma Adobe wprowadziła do oferty pełne wersje swoich produktów dla studentów dziennych i uczniów szkół średnich w bardzo atrakcyjnych cenach! Każda osoba .... Czytaj dalej na stronach Dzikie.NET

W.I.N.K.O - edycja trzecia ruszyła

To już trzecia edycja "Wspaniałego I Niepowtarzalnego Konkursu O nic" czyli konkursu foto przeprowadzanego na łamach naszego Forum. Zapraszam wszystkich chętnych - tych mniej i tych bardziej doświadczonych do spróbowania swoich sił w starciu z innymi fo .... Czytaj dalej na stronach Dzikie.NET

GRY Sztuczne ognie Charlize Theron ruletka i poker fotograf branze Tanie pozycjonowanie Koparki Rodzina zastępcza projektory

[0] Przypomnijmy, że jeżeli $\scriptstyle{X}$ jest przestrzenią unitarną, to jest również przestrzenią unormowaną, w której norma wyraża się wzorem $\scriptstyle{\|x\|=\sqrt{(x|x)},\, x\in X}$ .

[1] W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne, a więc i w konsekencji zupełne, gdyż każda przestrzeń skończenie wymiarowa jest liniowo homeomorficzna z przestrzenią $\scriptstyle{\mathbb{R}^N}$ dla pewnego $\scriptstyle{N}$ naturalnego. Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią zupełną jest zupełna.

[1]

[2]

gry.kompedium.net