Przestrzeń refleksywna

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Przestrzeń refleksywna - w analizie funkcjonalnej, przestrzeń unormowana, która jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią sprzężoną do jej przestrzeni sprzężonej (tzw. drugiej sprzężonej) poprzez pewne szczególnie odwzorowanie, zwane zanurzeniem kanonicznym przestrzeni unormowanej w swoją drugą przestrzeń sprzężoną. Na mocy powyższej definicji każda przestrzeń refleksywna jest przestrzenią Banacha.

Spis treści

1 Ustalenia wstępne
2 Definicja
3 Własności
4 Refleksywność a własność Radona-Nikodyma przestrzeni sprzężonej
5 Przypisy
6 Zobacz też
7 Bibliografia

[edytuj] Ustalenia wstępne

Niech $X$ będzie ustaloną przestrzenią unormowaną oraz

$B=\{x\in X\colon\, \|x\|\leq 1\}$ ,

$B^*=\{x^*\in X^*\colon\, \|x^*\|\leq 1\}$ .

Wówczas

$\|x^*\|=\sup\{|x^* x|\colon\, x\in B\}$ dla wszystkich $x^* \in X^*$ .

Na mocy twierdzenia Hahna-Banacha (dokładniej wniosku zwanego twierdzeniem o wydobywaniu normy)

$\|x\|=\sup\{|x^* x|\colon\, x^*\in B^*\}$ dla wszystkich $x\in X$ .

Ponieważ $|x^* x|\leq \|x^*\|\|x\|$ dla $x^*\in X^*,\, x\in X$ , więc wzór

$\kappa(x)(x^*)=x^* x\,$ dla $x^*\in X^*,\, x\in X$

określona odwzorowanie liniowe $\kappa\colon X\to (X^*)^*$ , nazywane kanonicznym zanurzeniem przestrzeni $X$ w przestrzeń $X * *$ , gdzie $X * * = (X *) *$ . Przyjmując

$B^{**}=\{x^{**}\in X^{**}\colon\, \|x^{**}\|\leq 1\}$

mamy

$\|\kappa(x)\|=\sup\{|\kappa(x)(x^*)|\colon\, x^*\in B^*\}=\sup\{|x^* x|\colon\, x^*\in B^*\}=\|x\|$ dla $x\in X$ .

Odwzorowanie $\kappa\colon X\to X^{**}$ jest więc izometrią. Przestrzeń $X * *$ rozważa się najczęściej z topologią wprowadzoną przez rodzinę $\{\Phi_{x^*}\colon\, x^* \in X^*\}$ , gdzie

$\Phi_{x^*}(x^{**})=x^{**}x^*$ dla $x^*\in X^*, x^{**}\in X^{**}$ .

Topologię tę nazywamy nazywamy $X *$ -topologią. Przestrzeń $X * *$ z tą topologią jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą.

[edytuj] Definicja

Przestrzeń $X$ nazywamy refleksywną wtedy i tylko wtedy, gdy

κ(X) = X * *

.

(tzn. gdy odwzorowanie $κ$ jest suriekcją.)

[edytuj] Własności

Oczywiście, każda przestrzeń refleksywna jest zupełna (jest przestrzenią Banacha). Wykorzystując twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału można wykazać, że każda przestrzeń Hilberta jest refleksywna (zob. dowód). Ogólniej, twierdzenie Clarksona-Milmana (zwane czasem twierdzeniem Milmana-Pettisa) mówi, że każda jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jest refleksywna (a więc w szczególności przestrzenie Hilbeta, przestrzenie L^p dla $p > 1$ są refleksywne). Przykładami przestrzeni refleksywnych, które nie są jednostajnie wypukłe są przestrzenie Montela.

Przestrzeń unormowana jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej domknięta kula jednostkowa jest słabo zwarta (dowód tego faktu wykorzystuje twierdzenie Goldstine'a oraz fakt, iż $κ$ jest homeomorfizmem między przestrzenią $X$ ze słabą topologią oraz $κ(X)$ z $X *$ -topologią indukowaną z przestrzeni $X * *$ ). Bezpośrednimi konsekwencjami z tej charakteryzacji przestrzeni refleksywnych są wnioski:

W przestrzeni refleksywnej każdy zbiór ograniczony i słabo domknięty jest słabo zwarty.
Przestrzeń refleksywna z topologią słabą ma własność Heinego-Borela.
W przestrzeni refleksywnej każdy zbiór domknięty, ograniczony i wypukły jest słabo zwarty.
Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni refleksywnej jest przestrzenią refleksywną.

Inne ważne własności to m.in.:

Jeśli $N$ jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni refleksywnej $X$ , to przestrzeń $X / N$ jest refleksywna.
Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią refleksywną jest przestrzenią refleksywną.
Przestrzeń Banacha $X$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy $X *$ jest refleksywna. ^[1]
Każda przestrzeń refleksywna jest słabo ciągowo zupełna, lecz nie odwrotnie - przykładem jest przestrzeń c₀, tzn. przestrzeń wszystkich ciągów liczb zespolonych zbieżnych do zera z normą supremum.
Twierdzenie Phillipsa: Każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodyma.

Używając twierdzenia Eberleina-Šmuliana można wykazać, że w przestrzeni refleksywnej każdy ograniczony ciąg jej punktów ma podciąg słabo zbieżny.

Istnieją przestrzenie unormowane liniowo izometryczne ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, które nie są refleksywne.

[edytuj] Refleksywność a własność Radona-Nikodyma przestrzeni sprzężonej

Istnieje korelacja między refleksywnością przestrzeni sprzężonej $X *$ (a więc w konsekwencji przestrzeni $X$ ) a posiadaniem przez nią własności Radona-Nikodyma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

$X *$ jest refleksywna jeśli:	$X *$ ma własność Radona-Nikodyma jeśli:
$X * * * *$ jest silnie wypukła
$X * * $ jest gładka (ang. smooth*^[2])	$X * * *$ jest silnie wypukła.
$X * *$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła	$X * *$ jest gładka
$X $ jest silnie gładka (ang. very smooth*^[2])	$X *$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła
$X$ jest jednostajnie wypukła	$X *$ jest silnie gładka

gdzie przyjmujemy następujące definicje:

Przestrzeń $X$ jest gładka, gdy dla każdego $x\in X$ takiego, że $\|x\|=1$ istnieje dokładnie jeden $x^*\in X^*$ taki, że $\|x^*\|=1$ oraz $x * x = 1$ .
Przestrzeń $X$ jest silnie gładka, gdy jest gładka oraz odwzorowanie $x\mapsto x^*$ takie jak w powyższej definicji jest jest ciągłe w sensie $(X, \tau)\to (X^*, (\tau^*)^w)$ , gdzie $τ$ oznacza topologię wprowadzoną przez normę w przestrzeni $X$ , a $(τ *) w$ oznacza słabą topologię w przestrzeni $X *$ wyposażoną w normę.^[3].
Przestrzeń $X$ nazywamy słabo lokalanie jednostajnie wypukłą, gdy dla każdego ciągu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}\cup \{0\}}$ punktów tej przestrzeni takich, że $\|x_n\|=1$ dla każdej liczby naturalnej $n$ oraz takiego, że jeśli $\lim_{n\to\infty}\|x_n+x_0\|=2$ , to istnieje słaba granica $x_n\to x_0$ .

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera^[4]:

Jeśli $X * * *$ jest silnie wypukła oraz $X *$ zawiera właściwą podprzestrzeń liniową $Y$ dla której odwzorowanie kanocznine $X\to Y^*$ jest izometrią, to $X$ jest przestrzenią refleksywną.

Przypisy

↑ Założenia zupełności przestrzeni nie można pominać - zob. Conway, Theorem V.4.2, s.135.
↑ ^2,0 ^2,1 Polska terminologia tej nazwy nie jest ustalona
↑ Znany jest fakt, że jeśli $X$ jest przestrzenią gładką, to odwzorowanie to jest ciągłe w sensie $\scriptstyle{(X, \tau) \to (X^*, \tau^*)}$ , gdzie $τ *$ oznacza topologię *-słabą w przestrzeni $X *$ .
↑ Ivan Singer, Some characterizations of reflexivity. Proc. Amer. Math. Soc. 52(1975), 166-168

[edytuj] Zobacz też

przestrzeń Jamesa.

[edytuj] Bibliografia

J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 1985.
J. Diestel, J.J Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212.
Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.

go2club

Zdjęcia z imprez, zdjęcia z klubów!! Właśnie zrobiono Ci zdjęcie? Sprawdz je na naszej stronie internetowej. Zobacz jak bawi sie Łódź. Odwiedz najlepsze kluby w mieście.

TECHNIKA ESTRADOWA

Strona zawiera podstawowe informacje o firmie usługowej w zakresie technik estradowych.

Roletki

Sunflex - Kielce i Warszawa. Producent oferuje żaluzje poziome oraz pionowe, roletki tkaninowe, plisy i duetki oraz drewniane żaluzje. Oferowane przez firmę żaluzje, roletki i plisy są wysokiej jakości i w atrakcyjnej cenie.

pozycjonowanie

Pozycjonowanie w google to najlepsza reklama stron internetowych. Pozycjonowanie strony internetowej czyli reklama w internecie to optymalizacja stron www i internetowa promocja w wyszukiwarkach.

pozycjonowanie w google

Pozycjonowanie strony w google to najlepsza reklama stron internetowych. Pozycjonowanie strony internetowej czyli reklama w internecie to optymalizacja stron www a także promocja w wyszukiwarkach. Jeśli interesuje Cię reklama internetowa to zapraszam na s

BHP Kurs Flash Disco polo turbospr�arki Ro�lina opis doswiadczenie e5e Kredyt Samochodowy informacje z rynku układ moczowy Technologia, życie, polityka i film

[0] Założenia zupełności przestrzeni nie można pominać - zob. Conway, Theorem V.4.2, s.135.

[ust-1] 2,0 ^2,1 Polska terminologia tej nazwy nie jest ustalona

[2] Znany jest fakt, że jeśli $X$ jest przestrzenią gładką, to odwzorowanie to jest ciągłe w sensie $\scriptstyle{(X, \tau) \to (X^*, \tau^*)}$ , gdzie $τ *$ oznacza topologię *-słabą w przestrzeni $X *$ .

[3] Ivan Singer, Some characterizations of reflexivity. Proc. Amer. Math. Soc. 52(1975), 166-168

[1]

[2]

[3]

[4]

gry.kompedium.net