Przestrzeń sprzężona

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicje
2 Druga dualna
3 Własności
4 Zobacz też

Przestrzeń (algebraicznie) sprzężona (także przestrzeń dualna) – przestrzeń funkcyjna funkcjonałów liniowych.

[edytuj] Definicje

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ . Przestrzenią (algebraicznie) sprzężoną (lub dualną) do $V$ nazywamy przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych określonych na przestrzeni $V$ i oznaczamy przez $V *$ .

Przestrzeń dualna $V *$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K$ ze względu na dodawanie funkcjonałów i mnożenie funkcjonałów przez skalar z ciała $K$ określonych punktowo:

$(f + g)(x)\; =\; f(x) + g(x)$
$(\alpha\cdot f)(x)\; =\; \alpha\cdot f(x)$

dla dowolnych $f, g \in V^*,\; \alpha \in K,\; x \in V$ .

Gdy $G : V \rightarrow W$ jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni liniowych nad $K$ , to odwzorowanie sprzężone (dualne) $G^* : W^* \rightarrow V^*$ zdefiniowany jest wzorem:

$G^*(h)\; :=\; h \circ G$

dla dowolnego $h \in W^*$ . Jest ono liniowe. Co więcej, niech $Id_V : V \rightarrow V$ będzie odwzorowaniem identycznościowy ( $Id_V(x) :=\; x$ dla każdego $x \in V$ ), oraz niech $F : U \rightarrow V$ będzie jeszcze jednym przekształceniem liniowym. Wtedy:

$(Id_V)^* = Id_{V^*}$ ;
$(G \circ F)^* = F^* \circ G^*$ .

Powyższe równości oznaczają, że sprzężoność jest funktorem kontrawariantnym kategorii przestrzeni liniowych w siebie.

[edytuj] Druga dualna

Zdefiniujmy przestrzeń drugą dualną do $V$ jako

$V^{**} :=\; (V^*)^*$

Podobnie definiujemy drugie sprzężenie odwzorowania liniowego:

$G^{**} :=\; (G^*)^*$

Otrzymaliśmy drugi funktor sprzężoności, jako złożenie (iterację) funktora sprzężoności ze sobą.

Zdefiniujmy ponadto odwzorowanie $d_V : V \rightarrow V^{**}$ wzorem:

$(d_V(x))(f)\; := \; f(x)$

dla każdego $x \in V$ oraz $f \in V^*$ . Odwzorowanie $d_V\;$ jest liniowe, a nawet jest zanurzeniem (jest różnowartościowe): gdy $x \ne 0$ , to istnieje funkcjonał $f \in V^*$ taki, że $f(x) \ne 0$ ; zatem $(d_V(x))(f)\; = \;f(x) \ne 0$ , więc $d_V(x) \ne 0$ .

Zanurzenie liniowe $d_V\;$ jest naturalne w następującym sensie:

Twierdzenie Niech $L : V \rightarrow W$ będzie odwzorowaniem liniowym przestrzeni liniowych nad ciałem K. Wtedy:

$L^{**} \circ\; d_V \;=\; d_W \circ L$

Dowód Niech $x \in V$ oraz $g \in W^{**}$ . Wtedy:

$((L^{**} \circ\; d_V)(x))(g) \ =\ (L^{**}(d_V(x)))(g) \ =\ (d_V(x) \circ L^*)(g)$

$\ =\ (L^*(g))(x) \ =\ (g \circ L)(x) \ =\ (d_W(L(x))(g)$

$=\ ((d_W \circ L)(x))(g)$

Koniec dowodu.

W teorii kategorii oznacza to, że podporządkowanie przestrzeni V zanurzenia d_V (dla każdej przestrzeni liniowej nad K) jest przekształceniem naturalnym funktora identycznościowego kategorii przestrzeni liniowych nad K w funktor drugiego sprzężenia. Podobne przekształcenie naturalne ma miejsce także w wielu innych kategoriach.

[edytuj] Własności

Jeżeli przestrzeń $V$ jest skończeniewymiarowa i ma wymiar $\dim V = n$ , to również $V *$ ma wymiar $\dim V^* = n$ . Zatem przestrzenie $V$ oraz $V *$ są izomorficzne; ale nie są izomorficzne w sposób kanoniczny. Natomiast $d_V : V \rightarrow V^{**}$ jest dla przestrzeni skończenie wymiarowych $V$ izomorfizmem kanonicznym (naturalnym).
Jeżeli $\mathcal B = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ jest uporządkowaną bazą przestrzeni $V$ , to bazę $\mathcal B^* = (x^*_1, x^*_2, \dots, x^*_n)$ przestrzeni $V *$ , gdzie

$x^*_i(x_j) = \begin{cases} 1 & \mbox{dla } i = j \\ 0 & \mbox{dla } i \ne j \end{cases} \quad \mbox{dla } i, j = 1, \dots, n$

nazywany bazą sprzężoną do bazy $\mathcal B$ przestrzeni

V

.

[edytuj] Zobacz też

Íîâűĺ ńóďĺđ ôîňęč č âčäĺî

Ďîđíî ŕđőčâű ń ńęŕ÷ŕňü ďîđíî âčäĺî ďîěĺë ŕíäĺđńîí
Áĺńďëŕňíűĺ ďîđíî ôîňî č âčäĺî çŕđóáĺćíîăî ęŕ÷ĺńňâĺííîĺ ďîđíî ęŕćäűé äĺíü
ěîëîäĺíüęîĺ áĺńďëŕňíîĺ ďîđíî
ńěîňđĺňü ďîđíî đîëčęč áĺç ńęŕ÷čâŕíč˙
ęëčďű ôčëěű ďîđíî ăĺé ďŕđíĺé
áĺç ďëŕňíî ńęŕ÷ŕňü ďîđíî ôčëüěű
áĺńďëŕňíűĺ ďîđíî ăŕëĺđĺč çâĺçä
ďîđíî ňîëńňűĺ ńŕäî ěŕçî ôîňî
ďîđíî ăđóďîâóőŕ ăđ˙çíŕ˙
ďîđíî ăŕëĺđĺč ńňóďíč
ďîđíî îíŕíčđóţůčĺ ďŕöŕíű
ńęŕ÷ŕňü ęîđîňęčĺ ďîđíî ôčëüěű íŕ őŕë˙âó
÷óäĺńŕ ďđčđîäű đĺäęîĺ č óíčęŕëüíîĺ ďîđíî âčäĺî íŕëîćĺííűě ďëŕňĺćîě
áĺńďëŕňíîĺ ďîđíî ěîëîäűĺ
ďîđíî ôîňęč ćĺńňęîé ăđóďďîâóőč
ăŕđĺě ďîđíî ęŕđňčíęč
ďîđíî ăŕëĺđĺ˙ ěîëîäűĺ ëĺň
ęóďčňü ďîđíî óęđŕčíŕ
ďîđíî ôčěëüě ęóđńę
áĺńďëŕňíî ďîđíî đîëčęč őŕë˙âŕ
ńęŕ÷˙ňü ďîđíî ôčëüěű áĺç đĺăčńňđŕöčč
ôîňî áĺńďëŕňíîĺ ďîđíî ăĺé ďîäđîńňęč
âčäĺî ďîđíî áĺç ęîäîâ
ńëŕäęŕ˙ ěŕěčíŕ ćîďŕ ďîđíî
ńęŕ÷ŕňü čçâđŕůĺíč˙ ďîđíî
áóőăŕëňĺđřč ďîđíî ôîňî

zarabianie przez internet

chciłąbym coś zarobi lecz nie wiem jaki system jest najlepszy jeśli byście mogli to podajcie linki do dobrze płatnych systemów

Gotthard

Hejo.
Więc zakładam temat na temat zespołu gotthard może nie jest wam bliżej znany ale według mnie fajną muzyke tworzy. Często gra on na rozpoczęcie koncertu np. przed Deep Purple. Jego największe przeboje to :
1. The Call : http://pl.youtube.com/watch?v=I2fsveBGIdw
2. Lift U Up : http://pl.youtube.com/watch?v=Cg4MTBCIW8A
3. Anytime Anywhere : http://pl.youtube.com/watch?v=XafGVomdWp8

Po prostu chciałem żebyście sobie posłuchali i napisali jak wam się podoba. Polecam osobą które lubią rocka

To mój pierwszy temat więc sory jak są jakieś błedy czy coś jest nie tak .

Xeobux

Przedstawiam wam nowego buxa:

Total Users: 359
Total Premium: 11
Total Paid: $73.045

- $0.01 per link clicked.
- $0.005 referals view.
- $0,05 joining bonus! (Temporary)
- The minimum payout is $2.00.

Niskie minimum i przyjazna szata graficzna.
Niskie ceny wynajmu poleconych:
Poleconych wynajmujemy na 30 dni

5 referrals -2$
10 referrals -4$
15 referrals -6$
20 referrals -8$
30 referrals -12$

Zapraszam:
http://xeobux.com/index.php?ref=mogiel

Darmowe konta rapidshare premium + tapetki

Konta sa z aktywnym seciurity lockiem wiec o zmianie hasła nie ma mowy.

Jedno wazne do 13 grudnia drugie do 16

Konto1 + tapetki

KOD

http://rapidshare.com/files/166070694/konto___tapety.rar

konto2 + tapetki

KOD

http://rapidshare.com/files/166073144/konto_tapetki.rar

hotel a parigi angielski krak�w odchudzanie A ty co Roslin swiat praca Pabianice Dart kartki praca Pabianice spedycja

gry.kompedium.net