Przestrzeń unormowana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwagi
2 Metryka
3 Przestrzenie unitarne
4 Przykłady
5 Unormowane grupy abelowe
- 5.1 Norma grupy abelowej
6 Zobacz też

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określone jest pojęcie normy (długości) wektora. Pojęcie przestrzeni unormowanej jest jednym z naturalnych uogólnień pojęcia przestrzeni euklidesowej.

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad dowolnym ciałem $K$ . Odwzorowanie $\|\cdot\|\colon X \to [0, \infty)$ spełniające warunki:

$\| x\| = 0 \Rightarrow x = 0$ ,
$\|\alpha x\| = |\alpha| \| x\|$ (dodatnia jednorodność),
$\| x+ y\| \leqslant \| x\| + \| y\|$ (nierówność trójkąta),

dla wszystkich $x,y\in X$ oraz $\alpha \in K$ , nazywamy normą (w przestrzeni $X$ ), a parę $(X, \|\cdot\|)$ przestrzenią unormowaną.

[edytuj] Uwagi

Należy zauważyć, że każde odwzorowanie spełniające warunki drugi i trzeci spełnia również warunek

$x = 0 \Rightarrow \| x\| = 0$ , co można zapisać skrótowo, iż $\| 0\| = 0$ .

Z tego powodu wielu autorów pierwszy aksjomat zapisuje w postaci

$\| x\| = 0 \iff x = 0$ .

Funkcje spełniające dwa ostatnie warunki definicji nazywane są półnormami albo seminormami. Odgrywają one zasadniczą rolę w teorii przestrzeni lokalnie wypukłych.

[edytuj] Metryka

Jeśli $(X, \|\cdot\|)$ jest przestrzenią unormowaną, to można w niej zdefiniować dla dowolnych $x, y \in X$ metrykę

$d( x, y) = \| x - y\|$ .

Metrykę tę nazywa się generowaną albo indukowaną przez normę przestrzeni $X$ .

Normy przestrzeni $X$ są równoważne, jeśli metryki przez nie generowane są równoważne. Innymi słowy normy są równoważne, jeśli topologie wyznaczone przez metryki generowane przez normy pokrywają się (są równoważne).

Okazuje się, że przestrzeni skończeniewymiarowej wszystkie normy są równoważne. Co więcej, każda skończeniewymiarowa przestrzeń unormowana jest zupełna (w topologii normy), jest zatem przestrzenią Banacha.

Każdą przestrzeń unormowaną można zanurzyć jako gęstą podprzestrzeń w pewną minimalną przestrzeń Banacha, którą nazywa się uzupełnieniem danej przestrzeni unormowanej.

[edytuj] Przestrzenie unitarne

Jeśli $X$ jest przestrzenią unitarną z iloczynem skalarnym oznaczonym jako $\langle \cdot, \cdot \rangle$ , to można w niej zdefiniować normę wektora $x$ jako:

$\| x\| := \sqrt{\langle x, x \rangle}.$

Normę taką określamy mianem generowanej bądź indukowanej przez iloczyn skalarny. Dla normy takiej spełniona jest tożsamość równoległoboku:

$2\| x\|^2 + 2\| y\|^2 = \| x + y\|^2 + \| x - y\|^2.$

Jeżeli w przestrzeni nie jest spełniona tożsamość równoległoboku, to przestrzeń nie jest unitarna.

Jeżeli w przestrzeni unormowanej spełniona jest tożsamość równoległoboku, to następująca tożsamość polaryzacyjna zadaje iloczyn skalarny:

$\langle x, y\rangle = \tfrac{1}{4}(\| x + y\|^2 - \| x - y\|^2 + i\| x + i y\|^2 - i\| x - i y\|^2).$

[edytuj] Przykłady

W przestrzeni euklidesowej $\mathbb R^n$ norma euklidesowa zdefiniowana jest jako

$\|[x_1, x_2, \ldots, x_n]\|_2 = \sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 + \ldots + |x_n|^2}$ .
W $\mathbb R^n$ normę pierwszą definiuje się wzorem

$\|[x_1, x_2, \ldots, x_n]\|_1 = |x_1| + |x_2| + \ldots + |x_n|$ .
Inną normą w $\mathbb R^n$ jest

$\|[x_1, x_2, \ldots, x_n]\|_\infty = \max\{|x_i|\colon\, 1\leqslant i \leqslant n\}$ .
Pierwsze dwie normy są przykładami tzw. p-tej normy $(p \geqslant 1)$ danej w $\mathbb R^n$ wzorem

$\|[x_1, x_2, \ldots, x_n]\|_p = \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \ldots + |x_n|^p}$ .

Trzecia jest zgodna z normą p-tą dla $p \to \infty$ , dlatego używany symbol nieskończoności ma uzasadnienie.

Niech $C [0,1]$ będzie przestrzeń funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$ . Normę można zdefiniować jako:

$\|f(x)\|_{C[0,1]} = \max_{x \in [0,1]}|f(x)|$

[edytuj] Unormowane grupy abelowe

Pojęcie normy można przenieść na grunt teorii grup abelowych. Odmienność struktury przestrzeni liniowej oraz grupy abelowej wymaga oczywiście modyfikacji drugiego aksjomatu normy, jednak obydwa odwzorowania – normy przestrzeni liniowej i normy grupy abelowej – mają wiele korespondujących ze sobą własności i dlatego są ciekawe z punktu widzenia matematyki.