Równanie rożniczkowe zupełne

Z Wikipedii

(Przekierowano z Równania rożniczkowe zupełne)

Brak wersji przejrzanej

Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci:

$P(x,y)+Q(x,y) \cdot {dy \over{dx}}=0$

w którym $P(x,y), \ Q(x,y)$ - funkcje ciągłe w pewnym obszarze $D$ i takie, że wyrażenie $\ P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy$ jest różniczką zupełną pewnej określonej w obszarze $D$ funkcji dwóch zmiennych $F (x, y)$ .

Zatem istnieje taka różniczkowalna funkcja $F (x, y)$ , że w każdym punkcie obszaru $D$ zachodzą następujące związki:

${\partial F \over{ \partial x}}= P(x,y), \quad {\partial F \over{\partial y}}=Q(x,y)$

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie $\ P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy$ było różniczką zupełną w obszarze jednospójnym $D$ jest spełnienie równości:

${\partial P \over{\partial y}}={\partial Q \over{\partial x}}$

Przykład: $\ (\cos x - x \sin x)y\, dx + (x\cos x - 2y)\,dy = 0$

${\mathcal L}={\partial P \over{\partial y}}= \cos x - x\sin x$

${\mathcal P}={\partial Q \over{\partial x}}= \cos x - x\sin x$

Zatem $\mathcal L=P$ , czyli instnieje $F (x, y)$ taka, że:

${\partial F \over{ \partial x}}= (\cos x - x\sin x)y$

${\partial F \over{ \partial y}}= x\cos x - 2y$

Przekształcając jedno z powyższych równań (np. drugie) otrzymujemy:

$F(x,y)= \int (x\cos x - 2y)dy= yx \cos x - y^2 + \phi(x)$

Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy:

${\partial F \over{ \partial x}}=y(\cos x - x\sin x)+ \phi^'(x)$

$y cos x - y x sin x + φ' (x) = (cos x - x sin x) y$ z rów. 1

Stąd: $φ' (x) = 0$ ,

zatem $φ(x) = C 1$ .

Czyli $\frac{}{} F(x,y)=xy \cos x - y^2 + C_{1}= C$ ,

i upraszając: $\frac{}{} xy \cos x - y^2 = C$ , gdzie $C$ - stała.

Mac OS X Snow Leopard na początku 2009 roku?

Premiera systemu Mac OS X 10.6, oznaczonego kodowo nazwą Snow Leopard planowana była, według wcześniejszych doniesień, na połowę przyszłego roku. Okazuje się, że Śnieżny Leopard może pojawić się znacznie wcześniej, bo już w styczniu 2009 roku.

Microsoft reklamuje konkurencję - MacBooka Pro i PlayStation? (zdjęcia)

Wiele wskazuje na to, że listopad zostanie ogłoszony tegorocznym miesiącem uśmiechu dla wszystkich, którzy interesują się strategiami reklamowymi gigantów branżowych. Po niezwykłej informacji "I'm a PC" Microsoftu przed sklepami Apple", nadszedł czas na kolejny "smaczek" - internauci donoszą, że Gigant z Redmond reklamuje teraz... MacBooka Pro oraz Playstation.

MacBooki staniały o 400 zł

Firma iSpot, autoryzowany dystrybutor produktów Apple w Polsce, obniżył cenę przenośnych komputerów MacBook o - jak informuje - 400 zł. Niestety oferta dotyczy wyłącznie starszej generacji tych maszyn (rozpoznawalnej m.in. po białej obudowie) i obowiązuje tylko do końca listopada.

Touchpad nowego MacBooka podatny na usterki

Najnowsze modele komputerów MacBook firmy Apple najwyraźniej posiadają pewną usterkę. Po dłuższym użytkowaniu przestają reagować i nie rejestrują kliknięć.

Twórca iPoda odchodzi z Apple

Wiceprezes działu iPodów Tony Fadell, rezygnuje z dalszej pracy w firmie Apple - podaje "The Wall Street Journal".

�cianki dzia�owe teksty hotel a parigi Felgi Roslin swiat Zestaw Classic Hit medtechplastics.com warhammer 40k dymisjon gry dla dzieci

gry.kompedium.net

Równanie rożniczkowe zupełne

Z Wikipedii