Równanie różniczkowe cząstkowe

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób.

Spis treści

1 Podstawowa definicja
2 Przykłady
- 2.1 Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe
- 2.2 Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe
3 Zobacz też

[edytuj] Podstawowa definicja

Niech $k \geqslant 1$ będzie liczbą całkowitą, a $U\,$ otwartym podzbiorem $\mathbb R^n$ . Równanie postaci:

$F\left(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \ldots, Du(x), u(x), x\right) = 0$ , gdzie $x \in U$

nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym $k$ -tego rzędu.

Funkcja $F\colon \mathbb R^{n^k} \times \mathbb R^{n^{k-1}} \times \ldots \times \mathbb R^n \times \mathbb R \times U \to \mathbb R$ jest dana, natomiast $u\colon U \to \mathbb R$ jest niewiadomą.

$D^k u(x) := \left\{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}\colon |\alpha| = k\right\}$ ,

gdzie $\alpha\,$ jest n-wymiarowym wielowskaźnikiem.

[edytuj] Przykłady

Wszędzie dalej przyjmujemy, że $t \ge 0$ oraz $x \in U$ , gdzie $U\,$ jest otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$ . Ponadto $Du := D_x u = (u_{x_1}, ..., u_{x_n})$ oznacza gradient funkcji $u\,$ względem zmiennych przestrzennych $x = (x_1, ..., x_n)\,$ . Zmienną $t\,$ interpretujemy jako czas.