Równanie różniczkowe cząstkowe - Gry

Równanie różniczkowe cząstkowe

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób.

Spis treści

[edytuj] Podstawowa definicja

Niech k \geqslant 1 będzie liczbą całkowitą, a U\, otwartym podzbiorem \mathbb R^n. Równanie postaci:

F\left(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \ldots, Du(x), u(x), x\right) = 0, gdzie x \in U

nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym k-tego rzędu.

Funkcja F\colon \mathbb R^{n^k} \times \mathbb R^{n^{k-1}} \times \ldots \times \mathbb R^n \times \mathbb R \times U \to \mathbb R jest dana, natomiast u\colon U \to \mathbb R jest niewiadomą.

D^k u(x) := \left\{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}\colon |\alpha| = k\right\},

gdzie \alpha\, jest n-wymiarowym wielowskaźnikiem.

[edytuj] Przykłady

Wszędzie dalej przyjmujemy, że t \ge 0 oraz x \in U, gdzie U\, jest otwartym podzbiorem \mathbb{R}^n. Ponadto Du := D_x u = (u_{x_1}, ..., u_{x_n}) oznacza gradient funkcji u\, względem zmiennych przestrzennych x = (x_1, ..., x_n)\,. Zmienną t\, interpretujemy jako czas.

[edytuj] Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe

  1. Równanie Laplace'a: \Delta u := \sum_{i=1}^n u_{x_i x_i} = 0
  2. Liniowe równanie transportu: u_t + \sum_{i=1}^n b^i u_{x_i} = 0
  3. Równanie przewodnictwa cieplnego (lub dyfuzji): u_t - \Delta u = 0\,
  4. Równanie Schrödingera: i u_t + \Delta u = 0\,
  5. Równanie falowe: u_{tt} - \Delta u = 0\,

[edytuj] Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe

  1. Nieliniowe równanie Poissona: -\Delta u = f(u)\,
  2. Równanie Hamiltona-Jacobiego: u_t + H(Du,x) = 0\,
  3. Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: u_t - \Delta u = f(u)\,

[edytuj] Zobacz też





Unable to open RSS Feed sample-template_SAFE.html with error Couldn't resolve host 'link.ddl2.pl', exiting