Równanie różniczkowe cząstkowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Na tej stronie wyświetlane są oczekujące zmiany

Brak wersji przejrzanej

Skocz do: nawigacji, szukaj

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Spis treści

1 Podstawowa definicja
2 Przykłady
3 Zobacz też

[edytuj] Podstawowa definicja

Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób. Niech $k \geqslant 1$ będzie liczbą całkowitą, a $U\,$ otwartym podzbiorem $\mathbb R^n$ . Równanie postaci:

$F\left(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \ldots, Du(x), u(x), x\right) = 0$ , gdzie $x \in U$

nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym $k$ -tego rzędu.

Funkcja $F\colon \mathbb R^{n^k} \times \mathbb R^{n^{k-1}} \times \ldots \times \mathbb R^n \times \mathbb R \times U \to \mathbb R$ jest dana, natomiast $u\colon U \to \mathbb R$ jest niewiadomą.

$D^k u(x) := \left\{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}\colon |\alpha| = k\right\}$ ,

gdzie $\alpha\,$ jest n-wymiarowym wielowskaźnikiem.

[edytuj] Przykłady

Wszędzie dalej przyjmujemy, że $t \geqslant 0$ oraz $x \in U$ , gdzie $U\,$ jest otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$ . Ponadto $Du := D_x u = (u_{x_1}, ..., u_{x_n})$ oznacza gradient funkcji $u\,$ względem zmiennych przestrzennych $x = (x_1,\ldots, x_n)\,$ . Zmienną $t\,$ interpretujemy jako czas.

[edytuj] Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Przypomnijmy następującą definicję: Całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwyczajnych

$\frac{dx_k}{dx_1}=\frac{X_2(x_1, \ldots, x_n)}{X_1(x_1, \ldots, x_n)}$ dla $2\leqslant k \leqslant n$ (*)

nazywamy funkcje

$c_k=\psi_k(x_1, \ldots, x_n)$ dla $1\leqslant k\leqslant n-1$ ,

powstałe całkowania równań w powyższym układzie.

Jeśli funkcje $X_1, \ldots, X_n$ są klasy $C 1$ w pewnym obszarze $D\subseteq \mathbb{R}^n$ oraz $X_1\neq 0$ wtedy każde rozwiązanie $u(x_1, \ldots, x_n)$ równania

$X_1(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_1}+\ldots + X_n(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_n}=0$

można zapisać w postaci

$u(x_1, \ldots, x_n)=\Phi(\psi_1, \ldots, \psi_{n-1})$ , gdzie $\psi_1,\ldots, \psi_{n-1}$ są całkami pierwszymi układu (*) a

Ψ

jest dowolną funkcją klasy

C 1

(n-1)-zmiennych.

[edytuj] Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe

Równanie Laplace'a: $\Delta u := \sum_{i=1}^n u_{x_i x_i} = 0$
Liniowe równanie transportu: $u_t + \sum_{i=1}^n b^i u_{x_i} = 0$
Równanie przewodnictwa cieplnego (lub dyfuzji): $u_t - \Delta u = 0\,$
Równanie Schrödingera: $i u_t + \Delta u = 0\,$
Równanie falowe: $u_{tt} - \Delta u = 0\,$

[edytuj] Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe

Nieliniowe równanie Poissona: $-\Delta u = f(u)\,$
Równanie Hamiltona-Jacobiego: $u_t + H(Du,x) = 0\,$
Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: $u_t - \Delta u = f(u)\,$

[edytuj] Zobacz też

Równanie różniczkowe zwyczajne

Tego nie możesz przegapić! Przegląd najciekawszych informacji mijającego tygodnia [30.08 - 03.09.2010]

Byłeś na wakacjach? Oglądałeś ciurkiem wszystkie sezony Lostów? A może po prostu miałeś dużo pracy? Nie martw się - tu znajdziesz wszystkie wiadomości, których nie powinieneś przegapić!

Galaxy Tab będzie droższy od iPada?

Pojawia się coraz więcej niepotwierdzonych informacji na temat ceny Galaxy Tab, czyli największego potencjalnego konkurenta iPada. Jest jeszcze bardziej zaporowa, niż ta Apple’a…

Energooszczędna karta graficzna Nvidii z obsługa DirectX 11

Nvidia po cichu dodała do swojej oferty nową kartę graficzną GeForce GT 240, opartą na procesorze GF108, wytworzonym w technologii 40 nm i obsługującym biblioteki DirectX 11.

Kompaktowe kamery Full HD z linii Camileo

Toshiba dodaje do swojej oferty dwie nowe, kompaktowe kamery cyfrowe, które potrafią rejestrować materiały w rozdzielczości 1920 x 1080 pikseli.

Samsung faworyzuje Androida, Bada i Windows Phone 7 na marginesie

Samsung doskonale rozumie swoją pozycję na rynku smartfonów. Będąc w pierwszej kolejności producentem sprzętu, nie zamierza faworyzować swojej platformy Bada - wręcz przeciwnie.

Bilety lotnicze Łódź Dywaniki łazienkowe Śrutownice wirnikowe Hydromasaż katalog kerasan ego unia ciaza objawy praca Ostrowiec Świętokrzyski części samochodowe

gry.kompedium.net