Równanie różniczkowe cząstkowe

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

Spis treści

1 Podstawowa definicja
2 Przykłady
3 Zobacz też

[edytuj] Podstawowa definicja

Typowe równanie różniczkowe cząstkowe możemy zapisać w następujący sposób. Niech $k \geqslant 1$ będzie liczbą całkowitą, a $U\,$ otwartym podzbiorem $\mathbb R^n$ . Równanie postaci:

$F\left(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \ldots, Du(x), u(x), x\right) = 0$ , gdzie $x \in U$

nazywa się równaniem różniczkowym cząstkowym $k$ -tego rzędu.

Funkcja $F\colon \mathbb R^{n^k} \times \mathbb R^{n^{k-1}} \times \ldots \times \mathbb R^n \times \mathbb R \times U \to \mathbb R$ jest dana, natomiast $u\colon U \to \mathbb R$ jest niewiadomą.

$D^k u(x) := \left\{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}\colon |\alpha| = k\right\}$ ,

gdzie $\alpha\,$ jest n-wymiarowym wielowskaźnikiem.

[edytuj] Przykłady

Wszędzie dalej przyjmujemy, że $t \geqslant 0$ oraz $x \in U$ , gdzie $U\,$ jest otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$ . Ponadto $Du := D_x u = (u_{x_1}, ..., u_{x_n})$ oznacza gradient funkcji $u\,$ względem zmiennych przestrzennych $x = (x_1,\ldots, x_n)\,$ . Zmienną $t\,$ interpretujemy jako czas.

[edytuj] Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Przypomnijmy następującą definicję: Całkami pierwszymi układu równań różniczkowych zwyczajnych

$\frac{dx_k}{dx_1}=\frac{X_2(x_1, \ldots, x_n)}{X_1(x_1, \ldots, x_n)}$ dla $2\leqslant k \leqslant n$ (*)

nazywamy funkcje

$c_k=\psi_k(x_1, \ldots, x_n)$ dla $1\leqslant k\leqslant n-1$ ,

powstałe całkowania równań w powyższym układzie.

Jeśli funkcje $X_1, \ldots, X_n$ są klasy $C 1$ w pewnym obszarze $D\subseteq \mathbb{R}^n$ oraz $X_1\neq 0$ wtedy każde rozwiązanie $u(x_1, \ldots, x_n)$ równania

$X_1(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_1}+\ldots + X_n(x_1, \ldots, x_n)\frac{\partial u}{\partial x_n}=0$

można zapisać w postaci

$u(x_1, \ldots, x_n)=\Phi(\psi_1, \ldots, \psi_{n-1})$ , gdzie $\psi_1,\ldots, \psi_{n-1}$ są całkami pierwszymi układu (*) a

Ψ

jest dowolną funkcją klasy

C 1

(n-1)-zmiennych.

[edytuj] Liniowe równanie różniczkowe cząstkowe

Równanie Laplace'a: $\Delta u := \sum_{i=1}^n u_{x_i x_i} = 0$
Liniowe równanie transportu: $u_t + \sum_{i=1}^n b^i u_{x_i} = 0$
Równanie przewodnictwa cieplnego (lub dyfuzji): $u_t - \Delta u = 0\,$
Równanie Schrödingera: $i u_t + \Delta u = 0\,$
Równanie falowe: $u_{tt} - \Delta u = 0\,$

[edytuj] Nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe

Nieliniowe równanie Poissona: $-\Delta u = f(u)\,$
Równanie Hamiltona-Jacobiego: $u_t + H(Du,x) = 0\,$
Skalarne równanie reakcji-dyfuzji: $u_t - \Delta u = f(u)\,$

[edytuj] Zobacz też

Równanie różniczkowe zwyczajne

Zapowiedziano Rock Band 3

Studio Harmonix ogłosiło dzisiaj oficjalnie, że pracuje nad trzecią częścią muzycznej serii Rock Band. Według twórców najnowsza część "zrewolucjonizuje rynek gier muzycznych".

Pierwszy zwiastun z 2010 FIFA World Cup

Electronic Arts zaprezentowało pierwszy zwiastun z nadchodzącej najnowszej części serii FIFA, która zostanie wydana z okazji Mistrzostw Świata w piłce nożnej.

FineReader 10 i PDF Transformer 3 na rynku

Firma ABBYY wydała nowe wersje programów FineReader (10) oraz PDF Transformer (3). Według niej, nowy FineReader w porównaniu do poprzedniej wersji oferuje do 30 proc. większą dokładność w rozpoznawaniu tekstów.

Nowe samochody dla Forza Motorsport 3

Na Xbox Live Marketplace pojawiły się dziś nowe samochody do gry Forza Motorsport 3. Znajdziemy wśród nich auta sportowe z najwyższej półki.

Robin w Batman: Arkham Asylum 2?

Serwis IMDB twierdzi, że w nowej części gry Batman: Arkham Asylum być może pojawi się Robin. Czyżby twórcy szykowali dla graczy tryb kooperacji?

Red Box Rage Against The Machine Rembrandts Marek Piekarczyk Rezerwat kraków Katalog seo praca Drukarka zebra,ink jet,taśma barwiąca,kody kreskow feng shui

gry.kompedium.net