Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Należy w nim poprawić: można napisać coś o prostszym przypadku endomorfizmów liniowych. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Równanie własne - równanie postaci:

lub w notacji Diraca:

w którym dany jest operator , a szukanymi: wartości własne a i funkcje własne ψ_a odpowiadające wartości własnej a.

Równanie własne gra podstawową rolę w mechanice kwantowej, gdzie reprezentuje wielkość fizyczną (obserwablę), ψ jest funkcją falową opisującą analizowany układ fizyczny (kwantowy), a a - wynikiem pomiaru wielkości reprezentowanej przez operator . W reprezentacji macierzowej Heisenberga jest wektorem własnym w przestrzeni Hilberta.

[edytuj] Równanie Schrödingera jako równanie własne

W szczególności równanie Schrödingera jest równaniem własnym hamiltonianu (tj. operatora energii), mającym postać:

gdzie hamiltonian jest operatorem różniczkowym zależnym geometrii i oddziaływań w badanym układzie fizycznym, zaś E - energią układu znajdującego się w stanie opisywanym funkcją falową ψ_E.

Rozwiązanie powyższego równania jest równoznaczne znalezieniu kwantowomechanicznego opisu układu.

W zależności od układu fizycznego równanie własne hamiltonianu może mieć jedno, skończoną lub nieskończoną liczbę rozwiązań. Zbiór rozwiązań może też być ciągły (istnieją rozwiązania o dowolnej energii E) lub dyskretny (istnieją rozwiązania tylko dla pewnych wartości energii: E₁, E₂, E₃, ...).

W szczególności dla stanów związanych (np. atomu wodoru) otrzymujemy dyskretny zestaw rozwiązań "numerowanych" liczbą całkowitą n, na przykład:

ψ_n , E_n, gdzie: n=1, 2, 3, ...

Z tego, że zbiór rozwiązań równania własnego hamiltonianu jest dyskretny wynika, że układ fizyczny może znajdować się tylko w stanach o określonej energii (mówiąc potocznie: jego "poziomy energetyczne są skwantowane"). Stany te są opisane liczbą n, nazywaną liczbą kwantową.

Tak więc skwantowanie poziomów energetycznych elektronów w atomach bierze się z dyskretnego charakteru rozwiązań równania własnego odpowiadającego im hamiltonianu.

Wyniki prac nad odkrytym przez siebie równaniem przedstawił Schrödinger w czterech artykułach opublikowanych w 1926r. w czasopiśmie Annalen der Physik pod wspólnym tytułem: Quantisierung als Eigenwertproblem, czyli Kwantowanie jako zagadnienie na wartości własne.