Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Należy w nim poprawić: niewłaściwe sformułowanie twierdzeń, definicji. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Twierdzenie Gödla to jeden z najbardziej znanych rezultatów logiki matematycznej. W istocie znane są dwa różne twierdzenia Gödla: pierwsze z nich to twierdzenie o niezupełności, drugie zaś to jego bezpośredni (równoważny) wniosek nazywany też twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności. Oba twierdzenia zostały udowodnione w 1931 roku przez austriackiego matematyka i logika Kurta Gödla. Uważa się również, że twierdzenia te dają negatywną odpowiedź na drugi problem Hilberta, i w ten sposób mają spore znaczenie w filozofii matematyki. Inne bardzo ważne twierdzenia Gödla to: twierdzenie o istnieniu modelu i twierdzenie o nierozstrzygalności (patrz: teoria, struktura matematyczna).

[edytuj] Kontekst

Twierdzenie Gödla było odpowiedzią na próbę przedstawienia wszystkich aksjomatów i twierdzeń matematycznych w postaci czysto symbolicznej (syntaktycznej), tzn. bez odwoływania się do ich znaczenia (czyli w oderwaniu od semantyki; por. logicyzm, formalizm). Próby takiej podjął się m.in. David Hilbert.

System formalny niesprzeczny – system, w którym nie da się udowodnić jednocześnie pewnego zdania i jego zaprzeczenia.

System formalny zupełny – system, w którym możliwe jest przeprowadzenie dowodu dowolnego, prawidłowo zapisanego zdania tego systemu, lub jego zaprzeczenia.

[edytuj] Twierdzenia

Dalej termin: prawdziwość używany będzie w znaczeniu: możliwość przeprowadzenia dowodu, a nie w sensie Tarskiego: spełnienia przez model. (Dotyczy bowiem zdań w systemach formalnych, które w ogólności modeli nie posiadają.)

[edytuj] Pierwsze, o niezupełności

Twierdzenie to mówi, że dowolny system formalny zawierający w sobie aksjomaty arytmetyki liczb naturalnych, jest albo zupełny albo niesprzeczny i nigdy nie posiada obu tych cech jednocześnie. Innymi słowy: można dowodzić prawdziwości wszystkich zdań takiego systemu, jednak wówczas istnieje w systemie pewne prawdziwe zdanie P, którego zaprzeczenie ~P również jest prawdziwe. Tym samym system albo jest sprzeczny wewnętrznie, albo system nie musi być sprzeczny, lecz wówczas istnieją zdania, których prawdziwości nie da się wywieść z aksjomatów i twierdzeń rozważanego systemu formalnego.

[edytuj] Drugie, o niedowodliwości niesprzeczności

To twierdzenie jest konsekwencją poprzedniego. Głosi ono, iż nie da się dowieść, w ramach tego systemu, niesprzeczności żadnego systemu formalnego zawierającego arytmetykę liczb naturalnych. Aby taki dowód przeprowadzić, niezbędny jest system wyższego rzędu, którego niesprzeczności w ramach niego samego również nie da się dowieść – i tak ad infinitum.

[edytuj] Zarys dowodu

Jeżeli zebrać wszystkie dowody w systemie w ciąg (Π_i) i wszystkie formuły zdaniowe jednoargumentowe w ciąg (P_i), to istnieje formuła

Zdanie Gödla P_k(k) oznacza więc, że nie można go dowieść. Gdyby można było go dowieść, byłoby fałszywe, a system byłby sprzeczny, więc jest prawdziwe, choć nie można go dowieść^[1].

[edytuj] Wnioski

Obydwa twierdzenia Gödla można uogólnić na dowolne systemy formalne zawierające skończoną lub rekurencyjnie przeliczalną liczbę aksjomatów. Warunkiem jest, aby w skład takiego systemu wchodziła arytmetyka liczb naturalnych lub zawierał on skończoną liczbę aksjomatów umożliwiającą przeprowadzenie tzw. arytmetyzacji twierdzeń.

Można oznaczyć G₀=P_k(k) i dodać to zdanie do aksjomatów systemu. Wtedy również będzie istniało zdanie G₁ niezależne od poszerzonych aksjomatów. W ten sposób można dodać G₂, G₃..., a nawet G_ω, G_ω+1, G_ω+2..., G_ω2, G_ω2+1..., G_ω3, G_ω4... i G_ω².^[1]

[edytuj] Błędne interpretacje

Potoczne rozumienie twierdzeń Gödla prowadzi zwykle do nieprawidłowych wniosków, np.:

• nie wiadomo, co jest prawdą,
• każdy system rozumowania jest sprzeczny albo niezupełny.

Warto także pamiętać, że dowód pierwszego twierdzenia Gödla polega na skonstruowaniu explicite zdania prawdziwego, którego nie da się dowieść w arytmetyce liczb naturalnych. Wyraźnie więc odróżnia się tu prawdziwość zdania od możliwości samego jego dowodzenia.

W codziennym życiu zwykle nie mamy do czynienia z systemami formalnymi, a co ważniejsze: kryteria prawdy nie są oparte wyłącznie na rachunku predykatów i innych formach logicznego rachunku zdań. Ponadto, prace późniejszych matematyków i logików doprowadziły poprzez zastosowanie tzw. indukcji pozaskończonej do konstrukcji systemów formalnych zawierających arytmetykę liczb naturalnych, będących jednocześnie niesprzecznymi i zupełnymi.

Istnieją również alternatywne formy twierdzeń Gödla posługujące się pojęciami m.in. z zakresu tak zwanych zbiorów rekurencyjnych.

Przypisy

Studenci UW zwyciężyli w programowaniu zespołowym

Sponsorowani przez ATM studenci Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego zwyciężyli w Akademickich Mistrzostwach Europy Środkowej w Programowaniu Zespołowym.

Windows Server 2008 - serwer zwirtualizowany. - link sponsorowany

Wirtualizacja serwerów z Windows Server 2008 to rzeczywistość. Właśnie na to czekałeś. Jeden fizyczny serwer działa tak, jak cała grupa wirtualnych serwerów. Sprawdź jakie nowe funkcje i możliwości daje Ci Windows Server 2008.

Polska nauka będzie goniła Zachód

Rząd przyjął projekty ustaw reformujących system badań naukowych. Zakładają one m.in. prawie 30 proc. wzrost nakładów na naukę w przyszłym roku i powiązanie wysokości finansowania z jakością prac badawczych prowadzonych przez poszczególne jednostki naukowe. Docelowo zmiany mają na celu m.in. zwiększenie konkurencyjności polskiej gospodarki.

UKE obniża cenę dostępu do pętli abonenckiej (LLU)

Telekomunikacja Polska uwalniając pętlę abonencką w cenie o 70% niższej od zaleceń UKE sugerowała, że regulator nie uwzględnia jej postulatów w zakresie obniżenia cen LLU zawartych w ofercie ramowej. Urząd Komunikacji Elektronicznej dokonał zmian, ale nie spotkały się one z przychylną reakcją przedstawicieli TP.

Przeglądanie witryn WWW za pośrednictwem poczty elektronicznej

Portal Rediff uruchomił nową usługę "Web-in-Mail", która pozwala na dostęp do witryn WWW za pośrednictwem klienta poczty elektronicznej, takiego jak Outlook, Outlook Express i urządzenie Blackberry. Nie wymaga użycia przeglądarki.