Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy ortogonalności w matematyce. Zobacz też: Ortogonalność grup ochronnych (pojęcie w chemii).

Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie unitarne. Szczególnym przypadkiem ortogonalności jest ortonormalność.

[edytuj] Definicja

Wektory x,y przestrzeni unitarnej X z iloczynem skalarnym są ortogonalne, co zapisujemy , wtedy i tylko wtedy, gdy

Uwaga 

Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni unitarnej. Często zamiast o ortogonalności, zgodnie z intuicjami geometrycznymi, mówi się o prostopadłości danych wektorów, choć ostatnie spostrzeżenie rozróżnia prostopadłość od ortogonalności (punkt nie jest prostopadły do dowolnej prostej na płaszczyźnie euklidesowej, lecz jest do niej ortogonalny w sensie euklidesowego iloczynu skalarnego).

[edytuj] Funkcje ortogonalne

Ze względu na ogólność pojęcia przestrzeni liniowej, a co za tym idzie przestrzeni unitarnej, obejmującego zakresem również przestrzenie wielomianów i innych funkcji, mówi się konsekwentnie o wielomianach ortogonalnych i funkcjach ortogonalnych. Należy wówczas pamiętać względem jakiego iloczynu skalarnego rozpatrujemy ortogonalność.

[edytuj] Przykłady

Rozpatrzmy przestrzeń L²([a,b]), czyli przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem na przedziale [a,b], gdzie iloczyn skalarny dany jest wzorem . Układem funkcji ortogonalnych na przedziale [ − π,π] jest , gdzie .

Innymi przykładem może być układ funkcji badany w teorii szeregów Fouriera. Przykładem wielomianów ortogonalnych są wielomiany Legendre'a rozpatrywane w analizie matematycznej i analizie numerycznej.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• macierz ortogonalna,
• ortogonalizacja Grama-Schmidta,
• ortonormalność,
• dopełnienie ortogonalne,
• operator ortogonalny.