Układ równań liniowych

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Układ równań liniowych to układ równań, w którym występuje dowolna liczba równań liniowych i jednocześnie nie występują w nim żadne równania wyższego rzędu.

Ogólnie dla $m\,$ równań, w których występuje $n\,$ niewiadomych układ równań liniowych można przedstawić następującym wzorem:

$\begin{cases}\begin{matrix} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&a_{13}x_3&+&\dots&+&a_{1n}x_n& = b_1\\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&a_{23}x_3&+&\dots&+&a_{2n}x_n& = b_2\\ a_{31}x_1&+&a_{32}x_2&+&a_{33}x_3&+&\dots&+&a_{3n}x_n& = b_3\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&a_{m3}x_3&+&\dots&+&a_{mn}x_n& = b_m \end{matrix}\end{cases}$

Skalary $a_{ij}\,$ nazywa się współczynnikami układu, skalary $b_i\,$ to tzw. wyrazy wolne. Rozwiązaniem układu w ciele $K\,$ nazywa się dowolną uporządkowaną $n\,$ -tkę $(r_1, r_2, \dots, r_n)\,$ elementów ciała $K\,$ , które po podstawieniu w miejsce $x_i\,$ do powyższych równań dają równości prawdziwe.

Spis treści

1 Macierze układu
2 Typy układów równań liniowych ze względu na ilość rozwiązań
3 Typy układów równań liniowych ze względu na postać
4 Metody rozwiązania

[edytuj] Macierze układu

[edytuj] Macierz główna układu

Z danym układem równań związane są dwie ważne macierze. Jedną z nich jest macierz główna układu równań, czyli po prostu macierz współczynników znajdujących się przy niewiadomych w układzie:

$A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\ \end{bmatrix}$ .

[edytuj] Macierz rozszerzona (uzupełniona) układu

Macierz rozszerzona powstaje z macierzy głównej przez dołączenie do niej kolumny $B$ wyrazów wolnych (w zapisie często oddzielaną pionową linią):

$U=\left[\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\\\vdots\\b_m\end{matrix}\right]$

[edytuj] Zapis macierzowy układu równań liniowych

Ponieważ współczynniki układów równań łatwo zapisać za pomocą macierzy, to wykorzystując pojęcie iloczynu macierzy możemy przedstawić cały układ w tej postaci:

$AX = B\,$

gdzie:

$A\,$ jest macierzą główną układu,
$X\,$ jest wektorem (pionowym) zmiennych $x_i\,$ ,
$B\,$ jest wektorem (pionowym) wyrazów wolnych $b_i\,$ .

[edytuj] Typy układów równań liniowych ze względu na ilość rozwiązań

Podana poniżej terminologia odpowiada terminologii używanej do jakichkolwiek układów równań.

Jeżeli układ równań liniowych nie ma żadnego rozwiązania, nazywa się sprzecznym.

Jeżeli układ równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie, nazywa się oznaczonym.

Jeżeli układ równań liniowych ma co najmniej dwa rozwiązania, nazywa się nieoznaczonym. Ale każdy nieoznaczony układ równań liniowych ma nieskończenie wiele rozwiązań (to znaczy, że niemożliwy jest przypadek, gdy mamy, na przykład, dokładnie dwa rozwiązania).

Przykład sprzecznego układu równań liniowych:

$\begin{cases}\begin{matrix}x + 3y = 2 \\ -2x - 6y = 1\end{matrix}\end{cases}$

Przykład oznaczonego układu równań liniowych:

$\begin{cases}\begin{matrix}x + 3y = 2 \\ -2x + y = -1\end{matrix}\end{cases}$

Przykład nieoznaczonego układu równań liniowych:

$\begin{cases}\begin{matrix}x + 3y = 2 \\ -2x - 6y = -4\end{matrix}\end{cases}$

Ilość rozwiązań zależy od rzędów macierzy układu, zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego.

[edytuj] Typy układów równań liniowych ze względu na postać

[edytuj] Układ prostokątny

Układ równań liniowych postaci:

$\begin{cases}\begin{matrix}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m\end{matrix}\end{cases}$

nazywamy prostokątnym układem m równań o n niewiadomych, gdy $m \not = n$ .

[edytuj] Układ kwadratowy

Jeżeli $n = m\,$ (liczba niewiadomych jest równa liczbie równań), to układ równań nazywamy kwadratowym. W tej sytuacji do jego rozwiązania można wykorzystać wyznaczniki. Jeżeli wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, to układ ma jedno rozwiązanie (jest oznaczony), podane tzw. wzorami Cramera.

Przez $A_i\,$ oznaczymy macierz otrzymaną przez zamianę w macierzy głównej układu $i\,$ -tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych układu równań:

$A_i=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\ i-1} & b_{1} & a_{1\ i+1} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\ i-1} & b_{2} & a_{2\ i+1} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n\ i-1} & b_{n} & a_{n\ i+1} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$

Z twierdzenia Kroneckera-Capellego i związku między rzędem macierzy a jej minorami wynika, że jeżeli wyznacznik macierzy głównej układu jest równy zeru, to:

jeżeli wszystkie macierze $A_i\,$ również mają zerowe wyznaczniki, to układ jest albo nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), albo sprzeczny (nie ma rozwiązania);
jeżeli przynajmniej jedna macierz $A_i\,$ jest nieosobliwa, to układ jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązania.

[edytuj] Układ jednorodny

Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, gdy wszystkie wyrazy wolne tego układu są równe zeru:

$\begin{cases}\begin{matrix}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = 0\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = 0\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = 0\end{matrix}\end{cases}$

Inaczej mówiąc, każde równanie układu liniowego jednorodnego jest liniowe jednorodne.

Układ liniowy jednorodny ma zawsze rozwiązanie zerowe, to znaczy $(0,0,...,0)\,$ .
Układ liniowy jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieoznaczony.
Układ liniowy jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej jest mniejszy od ilości niewiadomych.
Jeśli w układzie liniowym jednorodnym ilość niewiadomych jest większa od ilości równań, to ten układ ma rozwiązanie niezerowe.

[edytuj] Metody rozwiązania

[edytuj] Metoda eliminacji Gaussa

Metoda ta polega na stopniowym przekształceniu układu do postaci schodkowej.

Zobacz więcej w osobnym artykule: metoda Gaussa.

[edytuj] Metody rozwiązania układu Cramera

Układ Cramera to układ kwadratowy spełniający warunek:

$\det A \not = 0 \,$

Jednorodny układ Cramera ma tylko rozwiązanie zerowe postaci:

$x_1 = x_2 = ... = x_n = 0\,$

[edytuj] Wzory Cramera

Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie określone przez tzw. wzory Cramera.

[edytuj] Metoda macierzowa

Inna metoda rozwiązania takiego układu bazuje na podanym wyżej zapisu macierzowym:

$AX = B\,$

Rozważając to równanie w półgrupie macierzy (z mnożeniem) zauważamy, że przy aktualnych założeniach macierz $A\;$ jest odwracalna w tej strukturze. Oznaczając przez $A^{-1}\,$ macierz odwrotną do $A\;$ możemy pomnożyć lewostronnie obie strony powyższego równania przez $A^{-1}\,$ otrzymując:

$X = A^{-1}B\,$

(Przypomnijmy, że mnożenie macierzy nie jest przemienne i więc zapis $X = BA^{-1}\,$ jest niepoprawny.)

[edytuj] Zastosowanie do dowolnego układu równań liniowych

Wzory Cramera i metoda macierzowa mogą być zastosowane dla rozwiązania dowolnego układu równań liniowych, a nie tylko do układu Cramera. Żeby to zrobić, trzeba z początku przenieść "zbędne" niewiadome do prawej strony traktując je jako stałe, oraz odrzucić "zbędne" równania. Które niewiadome i które równania są "zbędne", bada się jednocześnie z badaniem typu układu zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego.

[edytuj] Porównanie efektywności metod rozwiązania

Gdy chodzi o rozwiązanie konkretnego układu równań liniowych, prawie zawsze najbardziej efektywną metodą jest metoda eliminacji Gaussa. Zastosowanie, na przykład, metody Cramera wymaga znacznie więcej czasu, zwłaszcza dla przypadku więcej niż trzech równań.

Metoda Cramera oraz metoda macierzowa są natomiast efektywne w wielu badaniach teoretycznych układów równań liniowych ze współczynnikami literowymi.

XXVII Rzeszowskie Spotkanie Fanów Star Wars

6 grudnia o godzinie 16:00

IV Konkurs Biblioteki Ossus

Zapraszamy do wzięcia w nim udziału!

Nowe screeny z The Old Republic

Prosto z oficjalnej strony.

Dwie książki z serii ''Rebel Force'' w sprzedaży

"Target" i "Hostage"

Recenzja ''Duel of the Droids''

Siódmy odcinek serialu The Clone Wars

casino poker szko�a policealna Image Hosting mieszkanie wystr�j wn�trz szko�y policealne Suknie ślubne Warszawa domki gry dla dziewcząt ksiązki koszulki

gry.kompedium.net