Wielościan foremny
Z Wikipedii
Wielościan foremny (albo platoński) - jest to wielościan, który spełnia następujące warunki:
- ściany są przystającymi wielokątami foremnymi,
- w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian.
- jest bryłą wypukłą (zobacz stella octangula)
Jeśli ściany są wielokątami foremnymi (ale nie przystającymi), i w każdym wierzchołku spotyka się ta sama liczba takich samych ścian w tym samym porządku, to wielościan nazywamy półforemnym albo archimedesowskim. Wielościany foremne zwane są także czasami bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy człowiek odnotował fakt istnienia ściśle określonej liczby tych brył.
Spis treści |
[edytuj] Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej
W geometrii euklidesowej w przestrzeni trójwymiarowej istnieje tylko pięć wielościanów foremnych.
| Nazwa | Nazwa grecka | Ściana | Grafika |
|---|---|---|---|
| czworościan | tetraedr | trójkąt równoboczny |  |
| sześcian | heksaedr | kwadrat |  |
| ośmiościan | oktaedr | trójkąt równoboczny |  |
| dwunastościan | dodekaedr | pięciokąt foremny |  |
| dwudziestościan | ikosaedr | trójkąt równoboczny |  |
[edytuj] Dowód
Zgodnie z twierdzeniem Eulera o wielościanach zachodzi równość
gdzie W oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, S liczbę jego ścian, a K liczbę krawędzi. Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy
i 
Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi l krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem
skąd 
Po podstawieniu do wzoru Eulera
i dalej 
, więc (n − 2)(l − 2) < 4.
Ponieważ l ≥ 3 i n ≥ 3, przez rozpatrzenie przypadków mamy następujące możliwości:
| (n-2)*(l-2) | n | l | S | W | K | nazwa |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1*1 | 3 | 3 | 4 | 4 | 6 | czworościan foremny |
| 2*1 | 4 | 3 | 6 | 8 | 12 | sześcian |
| 1*2 | 3 | 4 | 8 | 6 | 12 | ośmiościan foremny |
| 1*3 | 3 | 5 | 12 | 20 | 30 | dwunastościan foremny |
| 3*1 | 5 | 3 | 20 | 12 | 30 | dwudziestościan foremny |
Widać też dualność wielościanów dla zamiany n i l.
[edytuj] Wielościany foremne w przestrzeni czterowymiarowej
| Nazwa | Liczba ścian-trójwymiarowych brył | Liczba ścian dwuwymiarowych | Liczba krawędzi | Liczba wierzchołków |
|---|---|---|---|---|
| foremna 5-komórka | 5 czworościanów | 10 | 10 | 5 |
| foremna 8-komórka | 8 sześcianów | 24 | 32 | 16 |
| foremna 16-komórka | 16 czworościanów | 32 | 24 | 8 |
| foremna 24-komórka | 24 ośmiościanów | 96 | 96 | 24 |
| foremna 120-komórka | 120 dwudziestościanów | 720 | 1200 | 600 |
| foremna 600-komórka | 600 czworościanów | 1200 | 720 | 120 |
[edytuj] Wielościany foremne w Rn
| Nazwa wielościanu Rn, n>4 | Liczba n-1-wymiarowych ścian | Liczba k-wymiarowych wielościanów 0≤k≤n-1 |
|---|---|---|
| n-wymiarowy sympleks foremny | n+1 n-1-wymiarowych sympleksów |  k-wymiarowych sympleksów |
| n-wymiarowy hipersześcian | 2n n-1-wymiarowych hipersześcianów |  k-wymiarowych hipersześcianów |
| foremnan-wymiarowa 2n komórka | 2n n-1-wymiarowych sympleksów |  k-wymiarowych sympleksów |
Udowodniono, że dla n>4 istnieją tylko te wykazane powyżej wielościany.
[edytuj] Zobacz też
| jestesmysuper PODCAST MUSIC na naszej stronie |
Nowość na naszej stronie. Od dziś bedziemy promować nowych artystów udostępniając ich utwory wystarczy subskrybować nasz kanał RSS by móc pobierać najnowsze kawałki. W dniu dzisiejszym kawałki twórcy muzyki Trance AmbahJak AmbahJaK - Dazchust AmbahJaK - Treetashki AmbahJaK - Float My Boolean
|
| jestesmysuper najnowsze wieści z prac nad stroną |
|
Zajmujemy bardzo dobre pozycje we wszystkich wyszukiwarkach ... Najnowsze informacje o pozycji strony jestesmysuper grupy Jungle is Massive. Kolejne naruszenia regulaminu konkursu.
|
| jestesmysuper kolejna wiadomosc w naszym kanale |
|
kanał RSS jest rozwijany dodajemy kolejną wiadomośc w naszym kanale
|
| Jestesmysuper - Jungle is Massive RSS Start kanału |
|
jestesmysuper RSS to najnowszy kanał RSS grupy Jungle is Massive. Serdecznie zapraszamy do dodawania naszego kanału. Najnowsze informacje i newsy z naszej strony www w twojej przeglšdarce lub readerze kanałów RSS.
|