Wielościan foremny

Z Wikipedii

Wielościan foremny (bryła platońska) - wielościan spełniający następujące trzy warunki:

ściany są przystającymi wielokątami foremnymi,
w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian,
jest bryłą wypukłą^[1].

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj.wzajemnie przystające).

Spis treści

1 Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej
- 1.1 Dowody istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych
- 1.2 Historia
2 Wielokomórki foremne w przestrzeni n-wymiarowej
3 Przypisy
4 Zobacz też

[edytuj] Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej

Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa)):

Nazwa	Nazwa grecka	Ściana	Liczba ścian	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków
czworościan	tetraedr	trójkąt foremny (równoboczny)	4	6	4
sześcian	heksaedr	czworokąt foremny (kwadrat)	6	12	8
ośmiościan	oktaedr	trójkąt foremny (równoboczny)	8	12	6
dwunastościan	dodekaedr	pięciokąt foremny	12	30	20
dwudziestościan	ikosaedr	trójkąt foremny (równoboczny)	20	30	12

[edytuj] Dowody istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych

Pierwszy z dowodów opiera się o analizę łącznej ilości kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.

sciana	kąt wewnętrzy ściany	ilość ścian przy wierzchołku ≥3	wielokrotność kąta <360°	nazwa	uwagi
trójkąt	60°	3	180°	czworościan foremny
		4	240°	ośmiościan foremny
		5	300°	dwudziestościan foremny	ostatni z tej serii, bo 6•60°≥360°
kwadrat	90°	3	270°	sześcian	jedyny z tej serii, bo 4•90°≥360°
pięciokąt	108°	3	324°	dwunastościan foremny	jedyny z tej serii, bo 4•108°≥360°
sześciokąt i następne	≥120°	3	≥360°	-	żaden z tej i następnych serii, bo 3•120°≥360°

Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:

$W+S=K+2,\,$

gdzie $W$ oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, $S$ liczbę jego ścian, a $K$ liczbę krawędzi.

Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy

$S\cdot n=2K.\,$

Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi $l$ krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem

$W\cdot l=2K.\,$

Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności $S$ i $W$ i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy

$\frac{2K}{l}+\frac{2K}{n}=K+2.$

Przekształcając otrzymamy kolejno

$\frac{1}{l}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{K} > \frac{1}{2},$

oraz

$(n-2)(l-2)<4.\,$

Ponieważ $l \geqslant 3$ oraz $n \geqslant 3,$ przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:

$(n-2)\cdot(l-2)$	$n\,$	$l\,$	nazwa
1•1	3	3	czworościan foremny
2•1	4	3	sześcian
1•2	3	4	ośmiościan foremny
1•3	3	5	dwudziestościan foremny
3•1	5	3	dwunastościan foremny

Oczywiście znając $n, l$ można wyznaczyć $W, K, S,$ korzystając ze wzoru Eulera i zależności $S \cdot n = 2K$ oraz $W \cdot l = 2K.$

Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie $n$ i $l .$

[edytuj] Historia

Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon pisząc Timajos nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa^[2] (ucznia Platona).

Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień - czworościan, ziemia - sześcian, powietrze - ośmiościan, woda - dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata^[3].

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian - Saturn^[4]. Było to pierwsze z okrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

[edytuj] Wielokomórki foremne w przestrzeni n-wymiarowej

Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej (oznaczanej $\Bbb R^n$ ).

Dla n=4 udowodniono, że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:

Nazwa	Liczba ścian trójwymiarowych (brył foremnych)	Liczba ścian dwuwymiarowych (wielokątów foremnych)	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków	Wielokomórka dualna
foremna 5-komórka (4-wymiarowy sympleks)	5 czworościanów	10 trójkątów	10	5	samodualna
foremna 8-komórka (4-wymiarowy hipersześcian)	8 sześcianów	24 kwadratów	32	16	16-komórka
foremna 16-komórka	16 czworościanów	32 trójkątów	24	8	8-komórka
foremna 24-komórka	24 ośmiościanów	96 trójkątów	96	24	samodualna
foremna 120-komórka	120 dwunastościanów	720 pięciokątów	1200	600	600-komórka
foremna 600-komórka	600 czworościanów	1200 trójkątów	720	120	120-komórka

Dla dowolnego naturalnego $n > 4$ udowodniono, że w przestrzeni $\Bbb R^n$ istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne^[5]:

Nazwa	Liczba (n-1)-wymiarowych ścian	Liczba k-wymiarowych ścian, 0≤k≤n-1	Wielokomórka dualna
n-wymiarowy sympleks foremny	$n + 1$ (n-1)-wymiarowych sympleksów	$n+1 \choose k+1$ k-wymiarowych sympleksów	samodualna
n-wymiarowy hipersześcian	$2 n$ (n-1)-wymiarowych hipersześcianów	${n \choose k} 2^{n-k}$ k-wymiarowych hipersześcianów	2ⁿ-komórka
n-wymiarowa 2ⁿ-komórka foremna	$2 n$ (n-1)-wymiarowych sympleksów	${n \choose k+1} 2^{k+1}$ k-wymiarowych sympleksów	hipersześcian

Można też rozpatrywać przypadki $n < 3.$ "Wielokomórka" w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego $\ell\geq 3$ istnieje $\ell$ -kąt foremny. Z kolei "wielokomórka" w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt - to odcinek i można go traktowań jako "foremny".

Przypisy

↑ niezbędność tego warunku pokazuje przykład bryły zwanej stella octangula
↑ Teajtet bardziej jest znany z odkrycia ułamków łańcuchowych
↑ Matematyka dla humanistów - Michał Szurek
↑ W czasach Keplera ostatnią znaną planetą był Saturn. Przyjmowane przez Keplera promienie orbit nie były zbyt dokładne.
↑ Mathematical puzzles and diversions - Martin Gardner

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

#609203: masz jakiegos fajnego kolege co szuka mlodszej dziewczyny nie do

<Julka> masz jakiegos fajnego kolege co szuka mlodszej dziewczyny nie do ruchania?

#608870: Lata temu będąc w Lądku Zdroju, miałem koszmarny

<Benzodiazepiny> Lata temu będąc w Lądku Zdroju, miałem koszmarny sen. Śniło mi się, że jestem w Wietnamie i przedzieram się ciężko przez dżunglę, a nad głową latają mi Hueye i Cobry, niziutko, niezmordowanie młócąc powietrze wirnikami. Wysiłek aż dławi oddech. W końcu jakoś się wyrwałem z tego, wybudziłem, otwieram z wysiłkiem oczy. Na klacie siedzi mi 7 kilo brytyjskiego krótkowłosego. I mruczy.

#608828: napiszcie plusy technicznego wykształcenia

<w>napiszcie plusy technicznego wykształcenia
<d>no np. po studiach humanistycznych nie wyżywisz 4 osobowej rodziny
<a>a po informatycznych nie będziesz miał rodziny...

#608689: <@ahes> export EDITOR="rm -rf ~/*"

<@ahes> export EDITOR="rm -rf ~/*"
<@ahes> to generalnie zly pomysl

#608250: heh nie ma to jak informatyk ma kobietę

<PijanyNietoperz> heh nie ma to jak informatyk ma kobietę informatyczkę...
<PijanyNietoperz> wczoraj dzien kobiet wiec pojechałem z kwiatami
<PijanyNietoperz> po jakimś czasie
<PijanyNietoperz> lezymy sobie na łożeczku robi się już miło i przyjemnie
<PijanyNietoperz> i nagle słyszę romantyczne
<PijanyNietoperz> kochanie ile hostów będzie miała sieć z maską 255.255.254.0

Teneryfa rtv euro kserokopiarki Szwajstris Mikrofony rejestr internetowy projektowanie stron ceny rejsy cyklady kredyty Białystok Egipt Hurghada

[0] zbędność tego warunku pokazuje przykład bryły zwanej stella octangula

[1] Teajtet bardziej jest znany z odkrycia ułamków łańcuchowych

[2] Matematyka dla humanistów - Michał Szurek

[3] W czasach Keplera ostatnią znaną planetą był Saturn. Przyjmowane przez Keplera promienie orbit nie były zbyt dokładne.

[4] Mathematical puzzles and diversions - Martin Gardner

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

gry.kompedium.net