Z Wikipedii

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji. Do weryfikacji: zob. dyskusja

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Należy w nim poprawić: nadać formę hasła wikipedystycznego, uporządkować, opisać pojęcia przestrzeni skończeniewymiarowej i nieskończeniewymiarowej, gdyż tu odnoszą wspomniane hasła.. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Spis treści 1 Wstęp 2 Wymiar przestrzeni liniowej 3 Wymiar przestrzeni Hilberta 4 Mały wymiar indukcyjny Mengera-Urysohna (topologia) 4.1 Definicja 4.2 Historia 5 Duży wymiar indukcyjny Borela-Čecha (topologia) 5.1 Definicja 6 Wymiar pokryciowy Čecha-Lebesgue'a (topologia) 6.1 Historia pojęcia 7 Wymiar rozmaitości topologicznej 8 Wymiar fraktalny, wymiar Hausdorffa 9 Równoważność definicji wymiaru 10 Zobacz też 11 Linki zewnętrzne

[edytuj] Wstęp

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

Pojęcie wymiaru jest uogólnieniem naturalnych intuicji, że prosta jest obiektem jedno-, płaszczyzna dwu-, a zwykła przestrzeń trójwymiarowym. W zależności od sposobu dokonywania uogólnień otrzymujemy różne definicje wymiaru, jednak szereg z nich zgadza się dla przestrzeni euklidesowych.

[edytuj] Wymiar przestrzeni liniowej

W algebrze liniowej, wymiar przestrzeni liniowej, to moc dowolnej bazy liniowej tej przestrzeni.

Wymiar liniowy przestrzeni euklidesowej R ⁿ wynosi n; w przestrzeni dwuwymiarowej do określenia położenia dowolnego punktu potrzebne są dwie współrzędne np. p :=(20,30); w układzie trójwymiarowym   trzy współrzędne, np. p := (20,30,45).

Ponieważ przestrzeń  R ³  dość dobrze opisuje świat bezpośrednio dostępny naszym zmysłom, można na codzień mówić, że żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej.

W przypadku przestrzeni nad ciałem liczb zespolonym zachodzi naturalne utożsamienie:

Widzimy, że przestrzeń, o wymiarze liniowym zespolonym n, ma wymiar rzeczywisty 2·n. Dla przykładu, 4-wymiarowa przestrzeń euklidesowa może być traktowana jako 2-wymiarowa zespolona, a płaszczyzna euklidesowa (czyli przestrzeń 2-wymiarowa nad ciałem liczb rzeczywistych) może być traktowana jako prosta zespolona (czyli przestrzeń 1-wymiarowa nad ciałem liczb zespolonych).

[edytuj] Wymiar przestrzeni Hilberta

Występująca w analizie funkcjonalnej (i nie tylko) przestrzeń Hilberta jest przestrzenią liniową, więc stosuje się do niej ogólne pojęcie wymiaru przestrzeni liniowej (zdefiniowane w algebrze liniowej). W praktyce, tego wymiaru liniowego w kontekście przestrzeni Hilberta nigdy się nie używa. W analizie funkcjonalnej wszystkie najważniejsze nieskończenie wymiarowe przestrzenie liniowe mają ten sam wymiar liniowy (w opisanym sensie algebry liniowej). Więc taki wymiar jest w ich przypadku na ogół bez znaczenia.

Gdy w matematyce mówimy o wymiarze przestrzeni Hilberta, to mamy na myśli najmniejszą moc zbioru niezerowych, wzajemnie prostopadłych elementów tej przestrzeni. Na przykład, wymiar Hilberta ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest albo skończony albo .

Tak zdefiniowany wymiar, gdy jest skończony, pokrywa się z wymiarem w sensie algebry liniowej; gdy jest równy , to jest mniejszy od wymiaru z algebry liniowej.

Zobacz: przestrzeń Hilberta

[edytuj] Mały wymiar indukcyjny Mengera-Urysohna (topologia)

[edytuj] Definicja

Niech X  będzie przestrzenią regularną. Mały wymiar indukcyjny przestrzeni X,  oznaczany symbolem ind X,  jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1, lub nieskończonością, określoną za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(MU1) 

(MU2)    (dla  ),  jeśli dla każdego punktu oraz jego dowolnego otoczenia istnieje zbiór otwarty taki, że  oraz 

(MU3)  ,  gdy oraz nie zachodzi

(MU4) , gdy dla żadnego   nie jest prawdą, że .

Uwaga  Od zbioru U  można w warunku (MU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze V (definicja pozostanie równoważna).

[edytuj] Historia

Mały wymiar indukcyjny został zdefiniowany niezależnie przez Pawła Urysohna w 1922 roku oraz Karla Mengera w 1923 roku.

[edytuj] Duży wymiar indukcyjny Borela-Čecha (topologia)

Otrzymuje się go przez zastąpienie w definicji ind punktu przez zbiór domknięty:

[edytuj] Definicja

Niech X  będzie przestrzenią normalną. Duży wymiar indukcyjny przestrzeni X,  oznaczany symbolem Ind X,  jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1, lub nieskończonością, określoną za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(DU1) 

(DU2)    (dla  ),  jeśli dla każdego zbioru domkniętego oraz jego dowolnego otoczenia istnieje zbiór otwarty taki, że   oraz  .

(DU3)  ,  gdy oraz nie zachodzi

(DU4)  , gdy dla żadnego   nie jest prawdą, że .

Uwaga Od zbioru U  można w warunku (DU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze V.

[edytuj] Wymiar pokryciowy Čecha-Lebesgue'a (topologia)

Dowolnej przestrzeni normalnej X  można przypisać wymiar pokryciowy Čecha-Lebegue'a, który będziemy oznaczać dim X.  Wymiar dim X   jest liczbą całkowitą nie mniejszą niż -1, lub jest nieskończony. Wymiar definiują następujące warunki:

(CL1) 

dim X ≤ n, jeśli w każde skończone pokrycie otwarte przestrzeni X  można wpisać skończone pokrycie otwarte takie, że każde n+2 zbiory tego pokrycia mają puste przecięcie.

(CL2) 

dim X = n,  jeśli dim X ≤ n, ale nieprawda, że dim X ≤ n - 1.

(CL3) 

dim X  jest nieskończony, jeśli dla żadnej liczby n  nie zachodzi warunek (CL1).

Zauważmy, że ciężar definicji tkwi w warunku (CL1); dwa pozostałe mają charakter porządkujący.

[edytuj] Historia pojęcia

Wymiar pokryciowy został zdefiniowany i zbadany przez Eduarda Čecha w pracy z 1933. Pojęcie nawiązuje do odkrytej przez Lebesgue'a własności kostki n-wymiarowej.
Intuicja Zauważmy (a pierwszy uczynił to Henri Lebesgue w 1911 roku, w wymiarze n), że możemy pokryć odcinek jednostkowy I rodziną odcinków o dowolnie małej (z góry zadanej) długości, w taki sposób, że każda trójka odcinków ma puste przecięcie. Nie da się jednak tego uczynić tak, by każda para była rozłączna.
Z kolei kwadrat zawsze możemy pokryć prostokątami o dowolnie krótkim (znowu z góry zadanym) dłuższym boku, w taki sposób, że każde cztery małe prostokąty nie przecinają się. Ale nie możemy pokryć go prostokątami w taki sposób, żeby trójki prostokątów się nie przecinały.
Wreszcie, możemy sześcian wypełnić skończoną rodziną dowolnie małych prostopodłościanów (wyobraźmy sobie cegły) w taki sposób, że każde pięć będzie miało pustą część wspólną. Ale cztery prostopadłościany mogą mieć niepuste przecięcie (cztery cegły muszą się stykać).
Dodajemy teraz, że Lebesgue podał dowody powyższych obserwacji i to nie tylko dla przypadku pokryć "cegiełkami" odpowiedniego wymiaru, ale dla pokryć dowolnymi zbiorami. Twierdzenie to legło u podstaw budowy teorii wymiaru pokryciowego Čecha-Lebesgue'a.
Literatura Ryszard Engelking Teoria wymiaru, Warszawa 1981; Roman Duda O pojęciu wymiaru, Warszawa 1972.

[edytuj] Wymiar rozmaitości topologicznej

Na mocy definicji, rozmaitość topologiczna jest lokalnie homeomorficzna z pewną przestrzenią R ⁿ. Wtedy n  jest wymiarem topologicznym rozmaitości.

[edytuj] Wymiar fraktalny, wymiar Hausdorffa

Istnieje więcej niż jedno pojęcie "wymiaru fraktalnego". Najczęściej oznacza wymiar Hausdorffa. Stosowane są też inne definicje. Do najważniejszych można zaliczyć wymiar pudełkowy (box-counting dimension) i wymiar pakowania (packing dimension).

[edytuj] Równoważność definicji wymiaru

Na mocy zasadniczego twierdzenia teorii wymiaru trzy klasyczne definicje wymiaru: ind, Ind i dim, są równoważne dla wszystkich ośrodkowych przestrzeni metrycznych. Ponadto dim oraz Ind są równoważne dla przestrzeni metrycznych, podczas gdy ind i Ind są równoważne dla przestrzeni zwartych. Przykłady pokazują, że ogólnie trzy klasyczne funkcje wymiaru są różne.

Przykłady:

Płaszczyzna zespolona ma wymiar 1 jako przestrzeń liniowa, natomiast z topologicznego punktu widzenia jest płaszczyzną, zatem mały i duży wymiar indukcyjny, wymiar pokryciowy oraz wymiar Hausdorffa (względem zwykłej metryki euklidesowej) płaszczyzny zespolonej jest równy 2. Wymiar topologiczny trójkąta Sierpińskiego jest równy 1 (zbiór daje się rozciąć pojedynczymi punktami) a wymiar Hausdorffa wynosi

.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki

[edytuj] Linki zewnętrzne

• Alternatywne podjeście do wielowymiarowości

Poradniki ebook kursy maturalne noclegi krynica morska Projekty dom�w CSP BK kursy do matury marmury Projekty domów zlewozmywaki wykopy Sok Noni