Metoda Simpsona - Gry

Metoda Simpsona

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Funkcja f(x) (niebieska) jest przybliżana funkcją kwadratową P(x) (czerwona) gdzie:
f(a) = f(x0) = y0,
f(m) = f(x1) = y1,
f(b) = f(x2) = y2.

Całkowanie metodą Simpsona – jedna z metod przybliżania wartości całki oznaczonej funkcji rzeczywistej.

Metoda ma zastosowanie do funkcji stablicowanych w nieparzystej liczbie równo odległych punktów (wliczając końce przedziału całkowania). Metoda opiera się na przybliżaniu funkcji całkowanej przez interpolację wielomianem drugiego stopnia.

Znając wartości y_0,\ y_1,\ y_2 funkcji f(x) w 3 punktach x_0,\ x_1,\ x_2 (przy czym x_2-x_1 = x_1-x_0 = h\;), przybliża się funkcję wielomianem Lagrange'a, i całkując w przedziale [x0,x2] otrzymuje przybliżoną wartość całki:

\int\limits_{x_0}^{x_2}f(x)dx\approx \frac h 3 (y_0+4y_1+y_2)

Błąd który przy tym popełniamy jest równy: R = \frac{1}{90} h^5 |f^{(4)}(c)| gdzie:

c \in [x_0; x_2]

Nie znamy położenia punktu c więc posługujemy się poniższym szacowaniem, mającym zastosowanie w obliczeniach numerycznych:

R \leq \frac{1}{90} h^5 \max_{x \in [x_0; x_2]} |f^{(4)}(x)|

Znając wartości funkcji w 2k+1 kolejnych, równo odległych punktach x_0,\,x_1,\dots x_n (gdzie n=2k), możemy iterować powyższy wzór na k przedziałów:

\int\limits_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac h 3 (y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i}),\quad i=1,\,2,\,\dots\,k,\quad k=\frac n 2

otrzymując:

\int\limits_{x_0}^{x_n}f(x)dx=\sum_{i=1}^k \int\limits_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac h 3 \left( y_0+4\sum_{i=1}^k y_{2i-1}+2\sum_{i=1}^{k-1} y_{2i}+y_n \right)

Wartość błędu jakim są obarczone wyliczenia wyraża się wzorem:

R \leq \frac{1}{180} (x_n - x_0) h^4 \max_{x \in [x_0; x_n]} |f^{(4)}(x)|

By czytelnik mógł go odnieść do rysunku:

xn = b; f(xn) = yn,
x0 = a; f(x0) = y0

Geometrycznie metoda ta odpowiada zastąpieniu w każdym z kolejnych k przedziałów zmiennej x łuku wykresu funkcji y=f(x) łukiem paraboli, przeprowadzonej przez trzy kolejne węzły interpolacji (punkty wykresu o znanych współrzędnych), odpowiadające początkowi, środkowi i końcowi kolejnego przedziału.






Skunks i cygan
Rus, Niemiec i cygan spotykajom się. Rus mówi : - kto wytrzyma w pokoju ze skunksem wygra zakład. Rusek idzie pierwszy, 2min. wyszedł rus i mówi : ...
Piesek
- Mamo, kupisz mi pieska? - Nie, jeszcze ci myszki nie zdechły....
Telefon
Kubal , jak już wiecie , został wiceprezesem. Z dumą rozsiadł się w fotelu w swoim nowym gabinecie i nagle widzi że wchodzi do niego jakiś gość w garn...
jasiu jasiu
-Synu,w życiu trzeba umieć sobie radzić-powiedział tata do Jasia,sznurując buty dżdżownicą ...
sąd
W sądzie: -ile pozwana ma lat? -Chwileczkę,Wysoki Sądzie. Muszę policzyć........Gdy...
ziemne roboty Powermed szkoy kosmetyczne porady prawne Powermed Bilbao hoteles koszulki polskie seriale Gałczyński Konstanty Ildefons wiersze www.siostrybsj.pl mapa